Diketahui vektor a=2i+3j-k, vektor b=i+2k, dan vektor

Vektor a, b, dan c adalah nonkoplanar karena tidak ada solusi real untuk lambda dan mu dalam persamaan c = lambda a + mu b.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa vektor a, b, dan c nonkoplanar, kita perlu menunjukkan bahwa tidak ada bilangan real \"lambda\" dan \"mu\" yang memenuhi persamaan c = lambda a + mu b. Ini berarti bahwa vektor c tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor a dan b. Secara geometris, ini berarti bahwa ketiga vektor tersebut tidak terletak pada bidang yang sama. Kita dapat membuktikannya dengan menganalisis persamaan vektor tersebut:
c = lambda a + mu b
i + 2j = lambda (2i + 3j - k) + mu (i + 2k)
i + 2j = (2 * lambda + mu)i + (3 * lambda)j + (-lambda + 2 * mu)k
Dengan menyamakan komponen-komponen yang bersesuaian:
Untuk komponen i: 1 = 2 * lambda + mu
Untuk komponen j: 2 = 3 * lambda
Untuk komponen k: 0 = -lambda + 2 * mu
Dari persamaan komponen j, kita dapatkan lambda = 2/3. Substitusikan nilai lambda ke persamaan komponen k:
0 = -(2/3) + 2 * mu
2 * mu = 2/3
mu = 1/3
Sekarang, substitusikan nilai lambda dan mu ke persamaan komponen i:
1 = 2 * (2/3) + 1/3
1 = 4/3 + 1/3
1 = 5/3
Karena 1 \u2260 5/3, maka tidak ada bilangan real lambda dan mu yang memenuhi persamaan c = lambda a + mu b. Oleh karena itu, vektor a, b, dan c adalah nonkoplanar.