Balon udara terlihat oleh pengamat A dengan sudut elevasi

Tinggi balon adalah 360 + 240√3 meter.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan penerapan trigonometri dalam pengukuran tinggi, menggunakan konsep sudut elevasi dan segitiga.

Diketahui:
Sudut elevasi dari pengamat A ke balon udara (titik D) adalah 60 derajat (∠CAD = 60°).
Sudut elevasi dari pengamat B ke balon udara (titik D) adalah 75 derajat (∠CBD = 75°).
Jarak antara kedua pengamat AB = 240 m.
Kita perlu mencari tinggi balon udara, yaitu CD.

Misalkan tinggi balon udara CD = t.
Misalkan jarak AC = y.
Karena A, B, dan C segaris (berada pada garis pandang pengamat ke balon), maka jarak BC = AB - AC = 240 - y, jika B berada di antara A dan C, atau BC = AC - AB jika A berada di antara B dan C. Namun, dari sketsa soal (A 60 D B 75 C), terlihat bahwa B berada di antara A dan C, sehingga BC = y - 240 atau AC = y + 240. Lebih tepatnya, jika pengamat A lebih dekat ke titik C (di bawah balon), maka jarak BC = AC + AB jika B di depan A, atau BC = AB - AC jika A di depan B. Sketsa soal menyiratkan urutan A, B, C atau C, B, A. Kita asumsikan urutan A, B, C.

Mari kita perbaiki pemahaman sketsa: A dan B adalah pengamat, D adalah balon. C adalah titik di tanah tepat di bawah balon (proyeksi D). Jadi, segitiga ADC dan BDC adalah segitiga siku-siku di C. Sudut elevasi dari A adalah ∠DAC = 60°, dan dari B adalah ∠DBC = 75°. Jarak antara pengamat adalah AB = 240 m.

Kita punya dua segitiga siku-siku:
1. Segitiga ADC:
$\tan(\angle DAC) = \frac{CD}{AC}$
$\tan(60^\circ) = \frac{t}{AC}$
$\sqrt{3} = \frac{t}{AC} \implies AC = \frac{t}{\sqrt{3}}$

2. Segitiga BDC:
$\tan(\angle DBC) = \frac{CD}{BC}$
$\tan(75^\circ) = \frac{t}{BC}$
Untuk $\tan(75^\circ)$, kita bisa gunakan rumus $\tan(45^\circ+30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \times \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$.
Rationalize: $\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
Jadi, $\tan(75^\circ) = 2 + \sqrt{3}$.

$\implies BC = \frac{t}{2 + \sqrt{3}}$

Hubungan antara AC dan BC:
Dari sketsa (A 60 D B 75 C), pengamat A lebih jauh dari titik C dibandingkan pengamat B. Ini berarti urutannya adalah C, B, A, atau A, B, C dengan sudut elevasi yang berbeda. Sketsa menunjukkan bahwa titik A memiliki sudut elevasi lebih kecil (60°) daripada titik B (75°), yang berarti A lebih jauh dari balon dibandingkan B. Jadi, urutan titik di tanah adalah C, B, A.

Sehingga, $AC = AB + BC$
$rac{t}{\sqrt{3}} = 240 + \frac{t}{2 + \sqrt{3}}$

$rac{t}{\sqrt{3}} - \frac{t}{2 + \sqrt{3}} = 240$
$t \left( \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \right) = 240$
$t \left( \frac{(2 + \sqrt{3}) - \sqrt{3}}{\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})} \right) = 240$
$t \left( \frac{2}{2\sqrt{3} + 3} \right) = 240$
$t = 240 \times \frac{2\sqrt{3} + 3}{2}$
$t = 120 (2\sqrt{3} + 3)$
$t = 240\sqrt{3} + 360$

Jadi, tinggi balon adalah $360 + 240\sqrt{3}$ meter.