Banyaknya pasangan (a, b, c) bulat yang memenuhi a + b + c

28

Pembahasan

Untuk mencari banyaknya pasangan (a, b, c) bulat yang memenuhi a + b + c = 9 dengan batasan 1 <= a, b, c <= 7, kita dapat menggunakan prinsip inklusi-eksklusi.

Misalkan x_a = a-1, x_b = b-1, x_c = c-1. Maka persamaan menjadi (x_a+1) + (x_b+1) + (x_c+1) = 9, yang disederhanakan menjadi x_a + x_b + x_c = 6. Batasan baru menjadi 0 <= x_a, x_b, x_c <= 6.

Jumlah solusi non-negatif dari x_a + x_b + x_c = 6 adalah C(6+3-1, 3-1) = C(8, 2) = 28.

Sekarang kita kurangi solusi yang melanggar batasan, yaitu jika salah satu dari x_a, x_b, x_c lebih besar dari 6.

Misalkan x_a >= 7. Maka x_a = y_a + 7. Persamaan menjadi (y_a+7) + x_b + x_c = 6, atau y_a + x_b + x_c = -1. Tidak ada solusi non-negatif untuk ini.

Karena batasan atasnya adalah 6, yang lebih kecil dari 7, maka tidak ada pelanggaran yang perlu dikurangi dari solusi total. Oleh karena itu, semua 28 solusi memenuhi batasan tersebut.

Jadi, banyaknya pasangan (a, b, c) bulat yang memenuhi a + b + c = 9 dan 1 <= a, b, c <= 7 adalah 28.