Banyaknya waktu, dalam jam, fungsi komputer sebelum rusak

Peluang komputer berfungsi antara 50-150 jam adalah ≈ 0.3834. Peluang komputer berfungsi kurang dari 100 jam adalah ≈ 0.6321.

Pembahasan

Diketahui fungsi kepekatan peluang (pdf) untuk waktu fungsi komputer sebelum rusak adalah:
f(x) = b * e^(-x/100) untuk x >= 0

Karena f(x) adalah fungsi kepekatan peluang, maka integral dari f(x) dari -∞ sampai +∞ harus sama dengan 1. Karena f(x) hanya didefinisikan untuk x >= 0, maka:
∫[dari 0 sampai ∞] b * e^(-x/100) dx = 1

b * ∫[dari 0 sampai ∞] e^(-x/100) dx = 1

Untuk menyelesaikan integralnya:
∫ e^(-x/100) dx = -100 * e^(-x/100)

Sekarang evaluasi integral tentu:
b * [-100 * e^(-x/100)] [dari 0 sampai ∞] = 1
b * [-100 * e^(-∞/100) - (-100 * e^(-0/100))] = 1
b * [-100 * 0 - (-100 * 1)] = 1
b * [0 + 100] = 1
100b = 1
b = 1/100

Jadi, fungsi kepekatan peluangnya adalah f(x) = (1/100) * e^(-x/100) untuk x >= 0.

a. Peluang bahwa komputer akan berfungsi antara 50 sampai 150 jam sebelum rusak:
P(50 <= X <= 150) = ∫[dari 50 sampai 150] (1/100) * e^(-x/100) dx
= (1/100) * [-100 * e^(-x/100)] [dari 50 sampai 150]
= -[e^(-x/100)] [dari 50 sampai 150]
= -(e^(-150/100) - e^(-50/100))
= e^(-0.5) - e^(-1.5)
≈ 0.6065 - 0.2231
≈ 0.3834

b. Peluang bahwa komputer akan berfungsi kurang dari 100 jam:
P(X < 100) = ∫[dari 0 sampai 100] (1/100) * e^(-x/100) dx
= (1/100) * [-100 * e^(-x/100)] [dari 0 sampai 100]
= -[e^(-x/100)] [dari 0 sampai 100]
= -(e^(-100/100) - e^(-0/100))
= -(e^(-1) - e^(0))
= -(e^(-1) - 1)
= 1 - e^(-1)
≈ 1 - 0.3679
≈ 0.6321