Batas-batas nilai p agar persamaan psinx+(p+1)cosx=p+2

p \le -1 atau p \ge 3

Pembahasan

Agar persamaan trigonometri a sin x + b cos x = c dapat diselesaikan, maka harus memenuhi syarat -\sqrt{a^2+b^2} \le c \le \sqrt{a^2+b^2}.
Dalam persamaan yang diberikan, psinx + (p+1)cosx = p+2, kita memiliki:
a = p
b = p+1
c = p+2

Maka, syarat agar persamaan tersebut dapat diselesaikan adalah:
-\sqrt{p^2 + (p+1)^2} \le p+2 \le \sqrt{p^2 + (p+1)^2}

Kita perlu menyelesaikan dua ketidaksamaan:
1) p+2 \le \sqrt{p^2 + (p+1)^2}
Kuadratkan kedua sisi:
(p+2)^2 \le p^2 + (p+1)^2
p^2 + 4p + 4 \le p^2 + p^2 + 2p + 1
p^2 + 4p + 4 \le 2p^2 + 2p + 1
0 \le p^2 - 2p - 3
0 \le (p-3)(p+1)
Ini berarti p \le -1 atau p \ge 3.

2) -\sqrt{p^2 + (p+1)^2} \le p+2
\sqrt{p^2 + (p+1)^2} \ge -(p+2)
Karena akar kuadrat selalu non-negatif, ketidaksamaan ini akan selalu benar jika -(p+2) negatif atau nol, yaitu p+2 \le 0 atau p \le -2.
Jika -(p+2) positif, kita bisa mengkuadratkan kedua sisi:
p^2 + (p+1)^2 \ge (-(p+2))^2
p^2 + p^2 + 2p + 1 \ge (p+2)^2
2p^2 + 2p + 1 \ge p^2 + 4p + 4
p^2 - 2p - 3 \ge 0
(p-3)(p+1) \ge 0
Ini berarti p \le -1 atau p \ge 3.

Menggabungkan kedua kondisi:
Dari ketidaksamaan 1, kita dapatkan p \le -1 atau p \ge 3.
Dari ketidaksamaan 2, kita juga mendapatkan p \le -1 atau p \ge 3.
Namun, kita juga perlu mempertimbangkan kondisi awal agar akar kuadrat terdefinisi dan agar pengkuadratan kedua sisi valid. Paling penting, kita harus memeriksa kasus di mana $p+2$ negatif. Jika $p+2 < 0$ (yaitu, $p < -2$), maka $-\sqrt{p^2+(p+1)^2} \le p+2$ selalu benar karena sisi kiri selalu negatif dan sisi kanan lebih negatif.

Jadi, kita perlu menguji interval:
Jika $p < -2$: $p+2$ negatif, $-\sqrt{p^2+(p+1)^2}$ negatif. $-\sqrt{p^2+(p+1)^2} \le p+2$ terpenuhi.
Jika $-2 \le p \le -1$: $p+2$ non-negatif. Kuadratkan: $p^2 - 2p - 3 \ge 0$, yang memberikan $p \le -1$ atau $p \ge 3$. Jadi, $-2 \le p \le -1$ memenuhi.
Jika $p \ge 3$: $p+2$ positif. Kuadratkan: $p^2 - 2p - 3 \ge 0$, yang memberikan $p \le -1$ atau $p \ge 3$. Jadi, $p \ge 3$ memenuhi.

Jadi, batas nilai p adalah p \le -1 atau p \ge 3.

Jawaban Singkat: Batas nilai p agar persamaan psinx+(p+1)cosx=p+2 dapat diselesaikan adalah p \le -1 atau p \ge 3.