Toko sepeda merencanakan membeli dua jenis sepeda paling

Keuntungan maksimum adalah Rp12.500.000,00.

Pembahasan

Misalkan:
x = jumlah sepeda model perempuan
y = jumlah sepeda model laki-laki

Kendala yang ada:
1. Jumlah sepeda paling banyak 50 unit: x + y \le 50
2. Modal maksimal Rp90.000.000,00:
   1.500.000x + 2.000.000y \le 90.000.000
   Bagi dengan 500.000: 3x + 4y \le 180
3. Jumlah sepeda tidak negatif: x \ge 0, y \ge 0

Fungsi tujuan (keuntungan)
Keuntungan per unit sepeda perempuan = Rp1.750.000 - Rp1.500.000 = Rp250.000
Keuntungan per unit sepeda laki-laki = Rp2.200.000 - Rp2.000.000 = Rp200.000

Fungsi keuntungan: K(x, y) = 250.000x + 200.000y
Kita ingin memaksimalkan K(x, y).

Titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi kendala:
1. Titik potong x=0 dan y=0: (0, 0)
2. Titik potong x=0 dan x+y=50: (0, 50)
3. Titik potong y=0 dan x+y=50: (50, 0)
4. Titik potong y=0 dan 3x+4y=180: 3x = 180 => x = 60. Titik (60, 0). Namun, ini tidak memenuhi x+y \le 50.
5. Titik potong x=0 dan 3x+4y=180: 4y = 180 => y = 45. Titik (0, 45). Titik ini memenuhi x+y \le 50 (0+45 \le 50).
6. Titik potong x+y=50 dan 3x+4y=180:
   Dari x+y=50, kita punya x = 50-y.
   Substitusikan ke 3x+4y=180:
   3(50-y) + 4y = 180
   150 - 3y + 4y = 180
   150 + y = 180
   y = 30
   Jika y = 30, maka x = 50 - 30 = 20.
   Titik potongnya adalah (20, 30). Titik ini memenuhi x \ge 0 dan y \ge 0.

Titik-titik pojok yang valid adalah: (0, 0), (0, 45), (50, 0) (perlu dicek lagi), dan (20, 30).
Mari kita periksa kembali titik (50, 0):
Jika x=50, y=0, maka x+y=50 (memenuhi).
3x+4y = 3(50)+4(0) = 150. Apakah 150 \le 180? Ya, memenuhi.
Jadi, titik pojoknya adalah (0, 0), (0, 45), (50, 0), dan (20, 30).

Evaluasi fungsi keuntungan K(x, y) = 250.000x + 200.000y pada titik-titik pojok:
- K(0, 0) = 250.000(0) + 200.000(0) = 0
- K(0, 45) = 250.000(0) + 200.000(45) = 9.000.000
- K(50, 0) = 250.000(50) + 200.000(0) = 12.500.000
- K(20, 30) = 250.000(20) + 200.000(30) = 5.000.000 + 6.000.000 = 11.000.000

Nilai keuntungan maksimum adalah Rp12.500.000,00 yang diperoleh jika membeli 50 unit sepeda model perempuan dan 0 unit sepeda model laki-laki.

Jawaban Singkat: Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp12.500.000,00.