Batas-batas x e R yang memenuhi pertidaksamaan 6/(x-1)>x

x < -2 atau 1 < x < 3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $rac{6}{x-1} > x$, kita perlu memanipulasi pertidaksamaan tersebut agar satu sisi bernilai nol dan kemudian menganalisis tanda pada setiap interval.

Langkah 1: Pindahkan semua suku ke satu sisi.
$rac{6}{x-1} - x > 0$

Langkah 2: Samakan penyebutnya.
$rac{6 - x(x-1)}{x-1} > 0$
$rac{6 - x^2 + x}{x-1} > 0$
$rac{-x^2 + x + 6}{x-1} > 0$

Kalikan dengan -1 dan balik arah tanda pertidaksamaan.
$rac{x^2 - x - 6}{x-1} < 0$

Langkah 3: Faktorkan pembilangnya.
Cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya -6 dan jika dijumlahkan hasilnya -1. Bilangan tersebut adalah -3 dan 2.
Jadi, $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$.

Pertidaksamaan menjadi: $rac{(x-3)(x+2)}{x-1} < 0$

Langkah 4: Tentukan pembuat nol dari pembilang dan penyebut.
Pembilang: $x-3=0 
ightarrow x=3$, $x+2=0 
ightarrow x=-2$
Penyebut: $x-1=0 
ightarrow x=1$

Langkah 5: Buat garis bilangan dan uji tanda pada setiap interval.
Interval yang terbentuk adalah $(-	ext{inf}, -2)$, $(-2, 1)$, $(1, 3)$, dan $(3, 	ext{inf})$.

- Uji $x=-3$ (dalam interval $(-	ext{inf}, -2)$):
  $rac{(-3-3)(-3+2)}{-3-1} = rac{(-6)(-1)}{-4} = rac{6}{-4} = -1.5 < 0$. (Memenuhi)

- Uji $x=0$ (dalam interval $(-2, 1)$):
  $rac{(0-3)(0+2)}{0-1} = rac{(-3)(2)}{-1} = rac{-6}{-1} = 6 > 0$. (Tidak memenuhi)

- Uji $x=2$ (dalam interval $(1, 3)$):
  $rac{(2-3)(2+2)}{2-1} = rac{(-1)(4)}{1} = rac{-4}{1} = -4 < 0$. (Memenuhi)

- Uji $x=4$ (dalam interval $(3, 	ext{inf})$):
  $rac{(4-3)(4+2)}{4-1} = rac{(1)(6)}{3} = rac{6}{3} = 2 > 0$. (Tidak memenuhi)

Langkah 6: Tentukan himpunan penyelesaiannya.
Pertidaksamaan $rac{(x-3)(x+2)}{x-1} < 0$ terpenuhi pada interval $(-	ext{inf}, -2)$ dan $(1, 3)$.

Jadi, batas-batas x e R yang memenuhi pertidaksamaan $rac{6}{x-1} > x$ adalah $x < -2$ atau $1 < x < 3$.