Bayangan lingkaran x^2+y^2+6x+8=0 oleh refleksi berurutan

Bayangan lingkarannya adalah x^2 + y^2 - 14x + 48 = 0.

Pembahasan

Untuk mencari bayangan lingkaran x^2+y^2+6x+8=0 oleh refleksi berurutan terhadap garis x=3, kemudian dilanjutkan x=8, kita perlu melakukan transformasi pada koordinat titik-titik pada lingkaran.

Persamaan lingkaran dapat diubah ke bentuk standar (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 dengan melengkapkan kuadrat:
x^2 + 6x + y^2 + 8 = 0
(x^2 + 6x + 9) + y^2 + 8 - 9 = 0
(x+3)^2 + y^2 = 1
Pusat lingkaran adalah (-3, 0) dan jari-jarinya adalah 1.

Refleksi pertama terhadap garis x=3:
Jika sebuah titik (x, y) direfleksikan terhadap garis x=k, bayangannya adalah (2k-x, y).
Untuk refleksi terhadap x=3, bayangan titik (x, y) adalah (2*3 - x, y) = (6-x, y).

Refleksi kedua terhadap garis x=8:
Jika bayangan dari refleksi pertama (x', y') direfleksikan terhadap garis x=8, bayangannya adalah (2*8 - x', y') = (16-x', y').

Sekarang kita terapkan transformasi ini pada pusat lingkaran (-3, 0):
1. Refleksi pertama terhadap x=3:
   Pusat bayangan = (6 - (-3), 0) = (9, 0).

2. Refleksi kedua terhadap x=8:
   Pusat bayangan = (16 - 9, 0) = (7, 0).

Jari-jari lingkaran tidak berubah akibat refleksi. Jadi, jari-jarinya tetap 1.

Oleh karena itu, persamaan bayangan lingkaran setelah refleksi berurutan adalah:
(x - 7)^2 + (y - 0)^2 = 1^2
(x - 7)^2 + y^2 = 1

Jika dijabarkan:
x^2 - 14x + 49 + y^2 = 1
x^2 + y^2 - 14x + 48 = 0