belakang kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 akar(2) cm

Jarak titik P ke titik Q adalah 4 cm.

Pembahasan

Untuk menghitung jarak titik P ke titik Q, kita perlu menentukan koordinat kedua titik tersebut terlebih dahulu. 

Misalkan titik A berada pada koordinat (0,0,0).
Karena panjang rusuk kubus adalah 4√2 cm, maka:

A = (0,0,0)
B = (4√2, 0, 0)
C = (4√2, 4√2, 0)
D = (0, 4√2, 0)
E = (0, 0, 4√2)
F = (4√2, 0, 4√2)
G = (4√2, 4√2, 4√2)
H = (0, 4√2, 4√2)

Titik P berada pada perpotongan FH dan EG. FH adalah diagonal sisi pada bidang ADHE, dan EG adalah diagonal sisi pada bidang BCGF. Namun, dalam kubus, perpotongan kedua diagonal ini berada di pusat kubus.
Untuk mencari titik P, kita dapat mencari titik tengah dari FH atau EG.

Titik F = (4√2, 0, 4√2)
Titik H = (0, 4√2, 4√2)

Koordinat P = ((4√2 + 0)/2, (0 + 4√2)/2, (4√2 + 4√2)/2) = (2√2, 2√2, 4√2)

Titik Q berada pada perpotongan AH dan DE.
AH adalah diagonal sisi pada bidang ADHE.
DE adalah rusuk pada bidang dasar.

Titik A = (0,0,0)
Titik H = (0, 4√2, 4√2)

Persamaan garis AH dapat dinyatakan sebagai: (x,y,z) = t * (0, 4√2, 4√2) = (0, 4√2 t, 4√2 t), di mana 0 ≤ t ≤ 1.

Titik D = (0, 4√2, 0)
Titik E = (0, 0, 4√2)

Persamaan garis DE dapat dinyatakan sebagai: (x,y,z) = (0, 4√2, 0) + s * (0, -4√2, 4√2) = (0, 4√2 - 4√2 s, 4√2 s), di mana 0 ≤ s ≤ 1.

Untuk mencari titik Q, kita samakan koordinat kedua garis:

0 = 0 (x-koordinat cocok)
4√2 t = 4√2 - 4√2 s  => t = 1 - s
4√2 t = 4√2 s => t = s

Dari t = 1 - s dan t = s, kita dapatkan s = 1 - s => 2s = 1 => s = 1/2.
Karena t = s, maka t = 1/2.

Masukkan nilai t ke persamaan garis AH untuk mencari koordinat Q:
Q = (0, 4√2 * (1/2), 4√2 * (1/2)) = (0, 2√2, 2√2)

Sekarang kita hitung jarak antara P(2√2, 2√2, 4√2) dan Q(0, 2√2, 2√2).

Jarak PQ = sqrt((2√2 - 0)^2 + (2√2 - 2√2)^2 + (4√2 - 2√2)^2)
Jarak PQ = sqrt((2√2)^2 + 0^2 + (2√2)^2)
Jarak PQ = sqrt(8 + 0 + 8)
Jarak PQ = sqrt(16)
Jarak PQ = 4 cm.