Bentuk akar((secx-tanx)/ sec x+tanx)) dapat disederhanakan

sec x - tan x

Pembahasan

Untuk menyederhanakan bentuk akar 

√((sec x - tan x) / (sec x + tan x))

Kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut di dalam akar dengan sekawan dari penyebut, yaitu (sec x - tan x):

√((sec x - tan x) * (sec x - tan x) / (sec x + tan x) * (sec x - tan x))

= √((sec x - tan x)² / (sec² x - tan² x))

Kita tahu identitas trigonometri: sec² x - tan² x = 1.

Maka, bentuknya menjadi:

= √((sec x - tan x)² / 1)

= √(sec x - tan x)²

= |sec x - tan x|

Karena sec x = 1/cos x dan tan x = sin x/cos x, maka:
sec x - tan x = (1 - sin x) / cos x

Kita juga bisa menyederhanakan lebih lanjut:
sec x - tan x = (1 - sin x) / cos x
= (1 - sin x) / cos x * (1 + sin x) / (1 + sin x)
= (1 - sin² x) / (cos x * (1 + sin x))
= cos² x / (cos x * (1 + sin x))
= cos x / (1 + sin x)

Atau, kita bisa mengubah ke bentuk sin dan cos dari awal:
sec x = 1/cos x
tan x = sin x/cos x

(sec x - tan x) / (sec x + tan x) = ((1/cos x) - (sin x/cos x)) / ((1/cos x) + (sin x/cos x))
= ((1 - sin x)/cos x) / ((1 + sin x)/cos x)
= (1 - sin x) / (1 + sin x)

Mengalikan dengan sekawan dari penyebut (1 - sin x):
= (1 - sin x)(1 - sin x) / (1 + sin x)(1 - sin x)
= (1 - sin x)² / (1 - sin² x)
= (1 - sin x)² / cos² x

Mengambil akar kuadratnya:
= √((1 - sin x)² / cos² x)
= |(1 - sin x) / cos x|

Karena 1 - sin x selalu positif atau nol, maka:
= (1 - sin x) / cos x

Kita bisa menulis ini sebagai:
= 1/cos x - sin x/cos x
= sec x - tan x

Jadi, bentuk akar tersebut dapat disederhanakan menjadi sec x - tan x.