Bentuk dari 4sin(1/2(m+n))cos(1/2(m-n)) senilai dengan ....

$2\sin m + 2\sin n$

Pembahasan

Bentuk $4\sin(\frac{1}{2}(m+n))\cos(\frac{1}{2}(m-n))$ dapat disederhanakan menggunakan identitas trigonometri.

Kita tahu identitas jumlah dan selisih sinus:
$\, \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
$\, \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$

Dan identitas perkalian menjadi penjumlahan:
$\, 2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$
$\, 2 \cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B)$

Perhatikan bentuk yang diberikan: $4\sin(\frac{1}{2}(m+n))\cos(\frac{1}{2}(m-n))$.
Kita bisa mengelompokkannya menjadi $2 \times [2 \sin(\frac{1}{2}(m+n))\cos(\frac{1}{2}(m-n))]$.

Misalkan $A = \frac{1}{2}(m+n)$ dan $B = \frac{1}{2}(m-n)$.
Maka, $A+B = \frac{1}{2}(m+n) + \frac{1}{2}(m-n) = \frac{1}{2}(m+n+m-n) = \frac{1}{2}(2m) = m$.
Dan, $A-B = \frac{1}{2}(m+n) - \frac{1}{2}(m-n) = \frac{1}{2}(m+n-m+n) = \frac{1}{2}(2n) = n$.

Menggunakan identitas $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$, kita dapatkan:
$2 \sin(\frac{1}{2}(m+n))\cos(\frac{1}{2}(m-n)) = \sin(m) + \sin(n)$.

Jadi, $4\sin(\frac{1}{2}(m+n))\cos(\frac{1}{2}(m-n)) = 2 \times [\sin(m) + \sin(n)] = 2\sin m + 2\sin n$.