Berapakah jarak terdekat dari titik (-7,2) ke lingkaran

Jarak terdekat adalah 15 - √85.

Pembahasan

Untuk mencari jarak terdekat dari titik (-7, 2) ke lingkaran dengan persamaan x² + y² + 10x + 14y - 151 = 0, kita perlu menentukan pusat dan jari-jari lingkaran terlebih dahulu.

Persamaan umum lingkaran adalah (x - h)² + (y - k)² = r², di mana (h, k) adalah pusat dan r adalah jari-jari.
Kita ubah persamaan yang diberikan ke bentuk umum dengan melengkapkan kuadrat:
x² + 10x + y² + 14y = 151

Untuk suku x: (x² + 10x) kita tambahkan (10/2)² = 5² = 25.
Untuk suku y: (y² + 14y) kita tambahkan (14/2)² = 7² = 49.

Tambahkan nilai ini ke kedua sisi persamaan:
(x² + 10x + 25) + (y² + 14y + 49) = 151 + 25 + 49
(x + 5)² + (y + 7)² = 225

Dari bentuk ini, kita dapatkan:
Pusat lingkaran (h, k) = (-5, -7)
Jari-jari lingkaran (r) = √225 = 15

Titik yang diberikan adalah P = (-7, 2).

Jarak antara pusat lingkaran (C) dan titik P dapat dihitung menggunakan rumus jarak:
d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
d = √[(-7 - (-5))² + (2 - (-7))²]
d = √[(-7 + 5)² + (2 + 7)²]
d = √[(-2)² + (9)²]
d = √[4 + 81]
d = √85

Jarak terdekat dari titik ke lingkaran adalah jarak dari titik ke pusat lingkaran dikurangi jari-jari lingkaran.
Jarak terdekat = d - r
Jarak terdekat = √85 - 15

Karena √85 kira-kira 9.22, maka jarak terdekatnya adalah 9.22 - 15 = -5.78. Jarak tidak bisa negatif, ini berarti titik tersebut berada di dalam lingkaran. Jika titik berada di dalam lingkaran, jarak terdekat ke lingkaran adalah jari-jari dikurangi jarak dari titik ke pusat.

Jarak terdekat = r - d
Jarak terdekat = 15 - √85

Jadi, jarak terdekat dari titik (-7, 2) ke lingkaran adalah 15 - √85.