Berapakah luas persegi panjang maksimum yang dapat dibuat

Luas maksimum persegi panjang adalah 16.

Pembahasan

Untuk mencari luas persegi panjang maksimum yang dapat dibuat dalam daerah yang dibatasi oleh kurva \( x^2 = 8y \) dan garis \( x = 4 \), kita perlu menentukan dimensi persegi panjang tersebut.

1.  **Persamaan Kurva:** \( x^2 = 8y \) dapat ditulis sebagai \( y = \frac{x^2}{8} \). Ini adalah parabola yang terbuka ke atas dengan verteks di (0,0).
2.  **Batas Daerah:** Daerah dibatasi oleh parabola \( y = \frac{x^2}{8} \) dan garis vertikal \( x = 4 \). Karena parabola simetris terhadap sumbu y, daerah yang relevan akan berada di antara \( x = -4 \) dan \( x = 4 \) (nilai x ketika \( y=8 \) pada \( x^2=8y \)). Namun, soal ini secara spesifik menyebutkan \( x=4 \) sebagai batas, dan dari gambar yang disajikan, terlihat daerahnya dibatasi oleh \( x=0 \) hingga \( x=4 \) dan sumbu x hingga kurva.

Misalkan persegi panjang memiliki sudut kanan atas di titik \( (x, y) \) pada kurva \( y = \frac{x^2}{8} \), di mana \( 0 \le x \le 4 \). Maka, lebar persegi panjang adalah \( x \) dan tingginya adalah \( y = \frac{x^2}{8} \).

Luas persegi panjang, \( L \), diberikan oleh:
\( L(x) = \text{lebar} \times \text{tinggi} = x \times y = x \times \frac{x^2}{8} = \frac{x^3}{8} \).

Kita ingin memaksimalkan \( L(x) \) untuk \( 0 \le x \le 4 \).

Untuk mencari nilai maksimum, kita cari turunan pertama \( L(x) \) terhadap \( x \) dan setarakan dengan nol:
\( L'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3}{8} \right) = \frac{3x^2}{8} \).

Setarakan \( L'(x) = 0 \):
\( \frac{3x^2}{8} = 0 \)
\( x^2 = 0 \)
\( x = 0 \).

Ini memberikan luas minimum (0). Mari kita periksa kembali interpretasi soal atau gambar.

Jika persegi panjang dibentuk dengan simetris terhadap sumbu y, maka lebarnya adalah \( 2x \) dan tingginya adalah \( y = \frac{x^2}{8} \). Namun, garis \( x=4 \) membatasi lebar.

Mari kita asumsikan persegi panjang memiliki satu sisi pada sumbu y, dan sudut kanannya pada \( (x, y) \) di kurva. Sisi bawah persegi panjang berada di sumbu x. Maka lebar adalah \( x \) dan tinggi adalah \( y = \frac{x^2}{8} \). Luasnya adalah \( L = x \cdot \frac{x^2}{8} = \frac{x^3}{8} \). Batas \( x=4 \) berarti \( x \) bisa sampai 4.

Nilai \( L(x) \) pada batas interval \( [0, 4] \):
*   \( L(0) = \frac{0^3}{8} = 0 \)
*   \( L(4) = \frac{4^3}{8} = \frac{64}{8} = 8 \).

Nilai maksimum terjadi pada \( x = 4 \), dengan luas 8.

Jika persegi panjang memiliki sisi vertikal pada \( x=4 \), dan sudut kiri atas pada \( (-x, y) \) dan kanan atas pada \( (x, y) \), dengan \( x \le 4 \), maka lebar adalah \( 2x \) dan tinggi adalah \( y = \frac{x^2}{8} \). Luasnya \( L = 2x \cdot \frac{x^2}{8} = \frac{x^3}{4} \).

Untuk memaksimalkan \( L(x) = \frac{x^3}{4} \) dengan \( 0 \le x \le 4 \):
\( L'(x) = \frac{3x^2}{4} \).
Setarakan \( L'(x) = 0 \), didapat \( x = 0 \).
Periksa nilai pada batas:
*   \( L(0) = 0 \)
*   \( L(4) = \frac{4^3}{4} = \frac{64}{4} = 16 \).

Luas maksimum adalah 16, terjadi ketika \( x = 4 \). Titik pada kurva adalah \( (4, \frac{4^2}{8}) = (4, 2) \). Lebar persegi panjang adalah \( 2 \times 4 = 8 \) dan tingginya adalah 2. Luasnya \( 8 \times 2 = 16 \).

Namun, interpretasi yang paling umum untuk