Kelas 11Kelas 10mathAljabar
Berdasarkan soal Diketahui ax^2+bx+c=0 mempunyai akar-akar
Pertanyaan
Berdasarkan soal Diketahui ax^2+bx+c=0 mempunyai akar-akar penyelesaian x1 dan x2. perlihatkan bahwa: x1+x2=-b/a dan x1x2=c/a kita dapat menghitung nilai bentuk simetri dari x1 dan x2 (bentuk yang nilainya tidak berubah jika x1 dan x2 ditukar) tanpa harus posisi menghitung terlebih dahulu penyelesaian dari persamaan tersebut. Misalkan bentuk simetri: x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2 dapat dihitung karena kita dapat menghitung x1+x2 dan x1x2. Sekarang, selesaikanlah soal berikut: Hitunglah nilai x1^3+x2^3 untuk soal diatas
Solusi
Verified
(3abc - b^3)/a^3
Pembahasan
Diketahui persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ dengan akar-akar $x1$ dan $x2$. Kita telah mengetahui sifat akar-akar: Jumlah akar: $x1 + x2 = -b/a$ Hasil kali akar: $x1 * x2 = c/a$ Dan identitas untuk jumlah kuadrat akar: $x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1x2$ Kita diminta untuk menghitung nilai $x1^3 + x2^3$. Kita dapat menggunakan identitas aljabar untuk $x1^3 + x2^3$: $x1^3 + x2^3 = (x1 + x2)(x1^2 - x1x2 + x2^2)$ Kita bisa mengatur ulang bagian $x1^2 - x1x2 + x2^2$ menjadi $(x1^2 + x2^2) - x1x2$. Substitusikan identitas $x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1x2$ ke dalamnya: $x1^3 + x2^3 = (x1 + x2)(((x1 + x2)^2 - 2x1x2) - x1x2)$ $x1^3 + x2^3 = (x1 + x2)((x1 + x2)^2 - 3x1x2)$ Sekarang, substitusikan $x1 + x2 = -b/a$ dan $x1x2 = c/a$ ke dalam persamaan: $x1^3 + x2^3 = (-b/a)((-b/a)^2 - 3(c/a))$ $x1^3 + x2^3 = (-b/a)(b^2/a^2 - 3c/a)$ Untuk menyederhanakan, samakan penyebut di dalam kurung: $x1^3 + x2^3 = (-b/a)(b^2/a^2 - (3c*a)/(a*a))$ $x1^3 + x2^3 = (-b/a)(b^2/a^2 - 3ac/a^2)$ $x1^3 + x2^3 = (-b/a)((b^2 - 3ac)/a^2)$ $x1^3 + x2^3 = (-b(b^2 - 3ac))/a^3$ $x1^3 + x2^3 = (-b^3 + 3abc)/a^3$ $x1^3 + x2^3 = (3abc - b^3)/a^3$ Jadi, nilai $x1^3 + x2^3$ adalah $(3abc - b^3)/a^3$.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Persamaan Kuadrat, Sifat Akar
Section: Hubungan Akar Akar Persamaan Kuadrat
Apakah jawaban ini membantu?