Berdasarkan soal Diketahui ax^2+bx+c=0 mempunyai akar-akar

(3abc - b^3)/a^3

Pembahasan

Diketahui persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ dengan akar-akar $x1$ dan $x2$.

Kita telah mengetahui sifat akar-akar:
Jumlah akar: $x1 + x2 = -b/a$
Hasil kali akar: $x1 * x2 = c/a$

Dan identitas untuk jumlah kuadrat akar:
$x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1x2$

Kita diminta untuk menghitung nilai $x1^3 + x2^3$.

Kita dapat menggunakan identitas aljabar untuk $x1^3 + x2^3$: 
$x1^3 + x2^3 = (x1 + x2)(x1^2 - x1x2 + x2^2)$

Kita bisa mengatur ulang bagian $x1^2 - x1x2 + x2^2$ menjadi $(x1^2 + x2^2) - x1x2$.

Substitusikan identitas $x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1x2$ ke dalamnya:
$x1^3 + x2^3 = (x1 + x2)(((x1 + x2)^2 - 2x1x2) - x1x2)$
$x1^3 + x2^3 = (x1 + x2)((x1 + x2)^2 - 3x1x2)$

Sekarang, substitusikan $x1 + x2 = -b/a$ dan $x1x2 = c/a$ ke dalam persamaan:
$x1^3 + x2^3 = (-b/a)((-b/a)^2 - 3(c/a))$
$x1^3 + x2^3 = (-b/a)(b^2/a^2 - 3c/a)$

Untuk menyederhanakan, samakan penyebut di dalam kurung:
$x1^3 + x2^3 = (-b/a)(b^2/a^2 - (3c*a)/(a*a))$
$x1^3 + x2^3 = (-b/a)(b^2/a^2 - 3ac/a^2)$
$x1^3 + x2^3 = (-b/a)((b^2 - 3ac)/a^2)$
$x1^3 + x2^3 = (-b(b^2 - 3ac))/a^3$
$x1^3 + x2^3 = (-b^3 + 3abc)/a^3$
$x1^3 + x2^3 = (3abc - b^3)/a^3$

Jadi, nilai $x1^3 + x2^3$ adalah $(3abc - b^3)/a^3$.