Besar volume yang terjadi jika elips diputar mengelilingi

\(\frac{4}{3} \pi a b^2\)

Pembahasan

Volume benda putar yang terjadi jika sebuah elips diputar mengelilingi sumbu x dapat dihitung menggunakan metode cakram atau cincin, tergantung pada bentuk area yang diputar.

Jika elips direpresentasikan oleh persamaan \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\), dan kita memutar area di bawah kurva elips (terbatas pada sumbu x) mengelilingi sumbu x, maka kita menggunakan metode cakram.

Dari persamaan elips, kita bisa mendapatkan \(y^2\) dalam bentuk x:
\(\frac{y^2}{b^2} = 1 - \frac{x^2}{a^2}\)
\(y^2 = b^2 (1 - \frac{x^2}{a^2})\)

Volume (V) dihitung dengan integral:
\(V = \int_{a}^{b} \pi y^2 dx\) (batas integral dari -a sampai a karena elips membentang dari -a ke a pada sumbu x)
\(V = \int_{-a}^{a} \pi b^2 (1 - \frac{x^2}{a^2}) dx\)

Karena integrandnya genap, kita bisa mengalikannya dengan 2:
\(V = 2 \pi b^2 \int_{0}^{a} (1 - \frac{x^2}{a^2}) dx\)

Integralkan terhadap x:
\(V = 2 \pi b^2 [x - \frac{x^3}{3a^2}]_{0}^{a}\)

Substitusikan batas atas dan bawah:
\(V = 2 \pi b^2 [(a - \frac{a^3}{3a^2}) - (0 - 0)]\)
\(V = 2 \pi b^2 [a - \frac{a}{3}]\)
\(V = 2 \pi b^2 [\frac{3a - a}{3}]\)
\(V = 2 \pi b^2 [\frac{2a}{3}]\)
\(V = \frac{4}{3} \pi a b^2\)

Jadi, besar volume yang terjadi jika elips \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) diputar mengelilingi sumbu x adalah \(\frac{4}{3} \pi a b^2\).