Bila A sudut lancip dan cos (1/2 A) = akar((x+1)/(2x)),

\(\sin(A) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\)

Pembahasan

Diketahui \(\cos(\frac{1}{2}A) = \sqrt{\frac{x+1}{2x}}\) dan A adalah sudut lancip.
Kita akan menggunakan identitas trigonometri:
\(\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1
an\(\cos(A) = 2\cos^2(\frac{1}{2}A) - 1
\cos(A) = 2 \left(\sqrt{\frac{x+1}{2x}}\right)^2 - 1
\cos(A) = 2 \left(\frac{x+1}{2x}\right) - 1
\cos(A) = \frac{x+1}{x} - 1
\cos(A) = \frac{x+1-x}{x}
\cos(A) = \frac{1}{x}

Selanjutnya, kita gunakan identitas \(\sin^2(A) + \cos^2(A) = 1
an\(\sin^2(A) = 1 - \cos^2(A)
\sin^2(A) = 1 - \left(\frac{1}{x}\right)^2
\sin^2(A) = 1 - \frac{1}{x^2}
\sin^2(A) = \frac{x^2-1}{x^2}

Karena A adalah sudut lancip, maka \(\sin(A)\) positif.
\(\sin(A) = \sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}
\sin(A) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}

Karena \(\cos(\frac{1}{2}A)\) terdefinisi, maka \(\frac{x+1}{2x} \ge 0\). Jika \(x>0\), maka \(x+1 \ge 0\) yang selalu benar. Jika \(x<0\), maka \(x+1 \le 0\) sehingga \(x \\\le -1\).
Karena A sudut lancip, \(0 < A < 90^\circ\), maka \(0 < \frac{1}{2}A < 45^\circ\). Nilai \(\cos(\frac{1}{2}A)\) positif, yang konsisten dengan soal. Nilai \(\cos(A)\) juga positif, sehingga \(\frac{1}{x} > 0\), yang berarti \(x > 0\). Oleh karena itu, \(|x| = x\).

Jadi, \(\sin(A) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\).