Buktikan bahwa: 1+2+3+...+n=1/2n(n+1) untuk setiap n

Dibuktikan menggunakan induksi matematika dengan basis induksi P(1) benar dan langkah induktif P(k) => P(k+1) benar.

Pembahasan

Kita akan membuktikan pernyataan P(n): 1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2 * n * (n + 1) untuk setiap bilangan bulat positif n menggunakan induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi (n=1)
Periksa apakah pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
Sisi kiri: 1
Sisi kanan: 1/2 * 1 * (1 + 1) = 1/2 * 1 * 2 = 1
Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan, P(1) benar.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan P(k) benar untuk suatu bilangan bulat positif k sebarang. Artinya:
1 + 2 + 3 + ... + k = 1/2 * k * (k + 1)

Langkah 3: Langkah Induktif
Kita perlu membuktikan bahwa P(k+1) juga benar. Artinya, kita perlu menunjukkan bahwa:
1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = 1/2 * (k+1) * ((k+1) + 1)
1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = 1/2 * (k+1) * (k + 2)

Mulai dari sisi kiri persamaan P(k+1) dan gunakan hipotesis induksi:
(1 + 2 + 3 + ... + k) + (k+1)
= [1/2 * k * (k + 1)] + (k+1)  (Berdasarkan hipotesis induksi)

Sekarang, faktorkan (k+1):
= (k+1) * [1/2 * k + 1]
= (k+1) * [(k + 2)/2]
= 1/2 * (k+1) * (k + 2)

Ini sama dengan sisi kanan dari P(k+1).

Kesimpulan:
Karena P(1) benar dan jika P(k) benar maka P(k+1) juga benar, maka berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan 1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2 * n * (n + 1) benar untuk setiap bilangan bulat positif n.