Tentukan titik stasioner dan jenisnya pada interval

Titik stasioner pada x ≈ 120.96° (minimum) dan x ≈ 300.96° (maksimum).

Pembahasan

Untuk menentukan titik stasioner dan jenisnya pada interval 0<=x<=360 untuk fungsi f(x) = 3cos x - 5 sin x, kita perlu mencari turunan pertama fungsi tersebut dan menyamakannya dengan nol.

Langkah 1: Cari turunan pertama f'(x).
Turunan dari cos x adalah -sin x, dan turunan dari sin x adalah cos x.
Jadi, f'(x) = d/dx (3cos x - 5 sin x) = 3(-sin x) - 5(cos x) = -3sin x - 5cos x.

Langkah 2: Cari titik stasioner dengan menyamakan f'(x) = 0.
-3sin x - 5cos x = 0.
-3sin x = 5cos x.
Bagi kedua sisi dengan cos x (dengan asumsi cos x tidak sama dengan 0):
-3 (sin x / cos x) = 5.
-3 tan x = 5.
tan x = -5/3.

Langkah 3: Tentukan nilai x pada interval 0<=x<=360 yang memenuhi tan x = -5/3.
Karena nilai tan x negatif, x berada di kuadran II dan IV.
Mencari nilai referensi (sudut di kuadran I yang tangennya 5/3):
x_ref = arctan(5/3) ≈ 59.04 derajat.

Di kuadran II: x1 = 180 - x_ref ≈ 180 - 59.04 = 120.96 derajat.
Di kuadran IV: x2 = 360 - x_ref ≈ 360 - 59.04 = 300.96 derajat.

Langkah 4: Tentukan jenis titik stasioner menggunakan turunan kedua.
Cari turunan kedua f''(x).
f''(x) = d/dx (-3sin x - 5cos x) = -3(cos x) - 5(-sin x) = -3cos x + 5sin x.

Uji titik stasioner pertama (x1 ≈ 120.96 derajat):
f''(120.96) = -3cos(120.96) + 5sin(120.96).
cos(120.96) ≈ -0.485, sin(120.96) ≈ 0.875.
f''(120.96) ≈ -3(-0.485) + 5(0.875) = 1.455 + 4.375 = 5.83.
Karena f''(120.96) > 0, maka di x ≈ 120.96 derajat terdapat titik balik minimum.

Uji titik stasioner kedua (x2 ≈ 300.96 derajat):
f''(300.96) = -3cos(300.96) + 5sin(300.96).
cos(300.96) ≈ 0.485, sin(300.96) ≈ -0.875.
f''(300.96) ≈ -3(0.485) + 5(-0.875) = -1.455 - 4.375 = -5.83.
Karena f''(300.96) < 0, maka di x ≈ 300.96 derajat terdapat titik balik maksimum.

Jadi, titik stasionernya adalah ketika tan x = -5/3, yaitu pada x ≈ 120.96 derajat (minimum) dan x ≈ 300.96 derajat (maksimum).