Buktikan bahwa n^3+2n habis dibagi 3, dengan n>=0

Terbukti dengan induksi matematika.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa n^3 + 2n habis dibagi 3 untuk n ≥ 0, kita bisa menggunakan prinsip induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi (n=0).
Untuk n = 0, substitusikan ke dalam ekspresi:
0^3 + 2(0) = 0 + 0 = 0.
Karena 0 habis dibagi 3 (0 = 3 * 0), maka pernyataan ini benar untuk n = 0.

Langkah 2: Asumsi Induksi.
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat k ≥ 0. Artinya, k^3 + 2k habis dibagi 3. Ini berarti k^3 + 2k = 3m untuk suatu bilangan bulat m.

Langkah 3: Langkah Induksi.
Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1. Artinya, kita perlu menunjukkan bahwa (k+1)^3 + 2(k+1) habis dibagi 3.

(k+1)^3 + 2(k+1) = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + (2k + 2)
= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 2k + 2
= k^3 + 2k + 3k^2 + 3k + 3

Kita tahu dari asumsi induksi bahwa k^3 + 2k = 3m.
Jadi, ekspresi tersebut menjadi:
= 3m + 3k^2 + 3k + 3
= 3(m + k^2 + k + 1)

Karena ekspresi tersebut dapat ditulis sebagai 3 dikalikan dengan suatu bilangan bulat (m + k^2 + k + 1), maka (k+1)^3 + 2(k+1) habis dibagi 3.

Kesimpulan:
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa n^3 + 2n habis dibagi 3 untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.