limit (x-a)->0 (tan x-tan a)/(x-a)= ....

$\sec^2 a$

Pembahasan

Untuk mengevaluasi limit $\lim_{(x-a) \to 0} \frac{\tan x - \tan a}{x-a}$, kita dapat mengenali bahwa ini adalah bentuk definisi turunan dari fungsi $f(x) = \tan x$ pada titik $x = a$. 

**Menggunakan Definisi Turunan:**
Definisi turunan dari fungsi $f(x)$ pada titik $a$ adalah:
$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Dalam kasus ini, jika kita misalkan $x = a+h$, maka saat $(x-a) \to 0$, $h \to 0$. Persamaan limit menjadi:
$\lim_{h \to 0} \frac{\tan(a+h) - \tan a}{h}$

Ini persis sama dengan definisi turunan dari $f(x) = \tan x$ pada $x=a$.

**Mencari Turunan dari $f(x) = \tan x$:**
Turunan dari $\tan x$ adalah $\sec^2 x$. Jadi, $f'(x) = \sec^2 x$.

**Mengevaluasi Turunan pada $x=a$:**
Maka, nilai limitnya adalah turunan dari $\tan x$ dievaluasi pada $x=a$, yaitu $\sec^2 a$.

**Menggunakan Aturan L'Hopital (sebagai alternatif):**
Jika kita substitusi langsung $x=a$ ke dalam persamaan, kita akan mendapatkan bentuk $\frac{\tan a - \tan a}{a-a} = \frac{0}{0}$, yang merupakan bentuk tak tentu. Oleh karena itu, kita bisa menggunakan Aturan L'Hopital.

Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$, maka limit tersebut sama dengan $\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, asalkan limit yang terakhir ada.

Dalam kasus ini:
*   $f(x) = \tan x - \tan a$ (dianggap sebagai pembilang)
*   $g(x) = x - a$ (dianggap sebagai penyebut)

Turunan dari $f(x)$ terhadap $x$ adalah $f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan x - \tan a) = \sec^2 x - 0 = \sec^2 x$. (Karena $\tan a$ adalah konstanta).
Turunan dari $g(x)$ terhadap $x$ adalah $g'(x) = \frac{d}{dx}(x - a) = 1 - 0 = 1$. (Karena $a$ adalah konstanta).

Menerapkan Aturan L'Hopital:
$\lim_{x \to a} \frac{\sec^2 x}{1} = \sec^2 a$

Jadi, limit dari $(\tan x - \tan a)/(x-a)$ ketika $(x-a) \to 0$ (atau $x \to a$) adalah $\sec^2 a$.