Selesaikan integral berikut dengan cara subsitusi: integral

(1/35)(x^5+3)^7 + C

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral \int x^4(x^5+3)^6 dx dengan metode substitusi, kita perlu mengidentifikasi bagian dari integrand yang turunannya juga muncul dalam integral tersebut.

Misalkan u = x^5 + 3.
Selanjutnya, kita cari turunan dari u terhadap x, yaitu du/dx.
du/dx = 5x^4.

Dari sini, kita bisa menyatakan dx dalam bentuk du:
du = 5x^4 dx
dx = du / (5x^4).

Sekarang kita substitusikan u dan dx ke dalam integral:
\int x^4(x^5+3)^6 dx = \int x^4(u)^6 (du / (5x^4))

Perhatikan bahwa x^4 pada pembilang dan penyebut saling menghilangkan:
= \int u^6 (du / 5)
= (1/5) \int u^6 du

Sekarang kita integralkan u^6 terhadap u:
= (1/5) * (u^(6+1) / (6+1)) + C
= (1/5) * (u^7 / 7) + C
= (1/35) u^7 + C

Terakhir, kita substitusikan kembali u = x^5 + 3 ke dalam hasil integral:
= (1/35) (x^5 + 3)^7 + C.

Jadi, hasil dari integral x^4(x^5+3)^6 dx adalah (1/35)(x^5+3)^7 + C.