Buktikan bahwa salah satu faktor dari 2^(2n-1)+3^(2n-1)

5 adalah faktor dari 2^(2n-1)+3^(2n-1) karena 2n-1 selalu ganjil, dan a^ganjil + b^ganjil selalu habis dibagi oleh (a+b). Dalam hal ini, a=2, b=3, sehingga habis dibagi 5.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa 5 adalah salah satu faktor dari 2^(2n-1) + 3^(2n-1) dengan n adalah bilangan asli, kita dapat menggunakan prinsip induksi matematika atau substitusi nilai n.

Metode 1: Substitusi Nilai n
Untuk n = 1: 2^(2*1-1) + 3^(2*1-1) = 2^1 + 3^1 = 2 + 3 = 5.  5 habis dibagi 5.
Untuk n = 2: 2^(2*2-1) + 3^(2*2-1) = 2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35.  35 habis dibagi 5.
Untuk n = 3: 2^(2*3-1) + 3^(2*3-1) = 2^5 + 3^5 = 32 + 243 = 275. 275 habis dibagi 5.
Karena untuk beberapa nilai n awal, ekspresi tersebut habis dibagi 5, ini memberikan indikasi bahwa 5 adalah faktornya.

Metode 2: Menggunakan Sifat Aljabar
Perhatikan bahwa 2^(2n-1) + 3^(2n-1) dapat ditulis sebagai (2^2)^(n-1/2) + (3^2)^(n-1/2) atau lebih mudahnya, kita bisa melihat pola bahwa kedua suku memiliki pangkat yang sama (2n-1).  Ini adalah bentuk a^k + b^k, di mana k adalah bilangan ganjil.
Jika k adalah bilangan ganjil, maka a^k + b^k selalu habis dibagi oleh (a+b).
Dalam kasus ini, a = 2 dan b = 3, dan k = 2n-1 (yang selalu ganjil karena n adalah bilangan asli).
Maka, 2^(2n-1) + 3^(2n-1) selalu habis dibagi oleh (2+3) = 5.

Kesimpulan: Dengan menggunakan sifat bahwa a^k + b^k habis dibagi (a+b) jika k ganjil, dan karena 2n-1 selalu ganjil untuk n bilangan asli, maka 2^(2n-1) + 3^(2n-1) selalu habis dibagi 5. Oleh karena itu, 5 adalah salah satu faktornya.