Buktikan bahwa: sigma k=1 12 (3k-4) = 3 sigma k=1 4 (3k+8)

Kedua sisi persamaan bernilai 186, sehingga terbukti benar.

Pembahasan

Kita perlu membuktikan bahwa \(\sum_{k=1}^{12} (3k-4) = 3 \sum_{k=1}^{4} (3k+8)\).

Mari kita hitung sisi kiri (LHS):
LHS = \(\sum_{k=1}^{12} (3k-4)\)
Ini adalah deret aritmetika. Suku pertama (k=1) adalah 3(1)-4 = -1. Suku terakhir (k=12) adalah 3(12)-4 = 36-4 = 32. Jumlah suku adalah 12.
Rumus jumlah deret aritmetika: S_n = n/2 * (a_1 + a_n)
LHS = 12/2 * (-1 + 32)
LHS = 6 * 31
LHS = 186

Sekarang, mari kita hitung sisi kanan (RHS):
RHS = 3 \(\sum_{k=1}^{4} (3k+8)\)
Mari kita hitung sigma terlebih dahulu:
\(\sum_{k=1}^{4} (3k+8)\)
Suku pertama (k=1): 3(1) + 8 = 11
Suku kedua (k=2): 3(2) + 8 = 14
Suku ketiga (k=3): 3(3) + 8 = 17
Suku keempat (k=4): 3(4) + 8 = 20
Ini adalah deret aritmetika dengan a_1 = 11, n = 4, dan beda = 3.
Jumlahnya = 4/2 * (11 + 20)
Jumlahnya = 2 * 31
Jumlahnya = 62

Sekarang kalikan dengan 3:
RHS = 3 * 62
RHS = 186

Karena LHS = 186 dan RHS = 186, maka terbukti bahwa \(\sum_{k=1}^{12} (3k-4) = 3 \sum_{k=1}^{4} (3k+8)\).