Tentukan akar-akar polinomial berikut.

Akar-akar polinomial x⁵-2x⁴-13x³+38x²-24x=0 adalah -4, 0, 1, 2, dan 3.

Pembahasan

Polinomial yang diberikan adalah: x⁵ - 2x⁴ - 13x³ + 38x² - 24x = 0

Langkah pertama adalah memfaktorkan x dari setiap suku, karena semua suku memiliki x:
x(x⁴ - 2x³ - 13x² + 38x - 24) = 0

Salah satu akar dari polinomial ini adalah x = 0.

Sekarang kita perlu mencari akar dari polinomial derajat empat: P(x) = x⁴ - 2x³ - 13x² + 38x - 24 = 0.

Kita dapat menggunakan Teorema Akar Rasional untuk mencari kemungkinan akar rasional. Kemungkinan akar rasional adalah faktor dari konstanta terakhir (-24) dibagi dengan faktor dari koefisien utama (1).

Faktor dari -24 adalah: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24.

Mari kita coba beberapa nilai:

Coba x = 1:
P(1) = 1⁴ - 2(1)³ - 13(1)² + 38(1) - 24 = 1 - 2 - 13 + 38 - 24 = 40 - 39 = 1 ≠ 0.

Coba x = -1:
P(-1) = (-1)⁴ - 2(-1)³ - 13(-1)² + 38(-1) - 24 = 1 - 2(-1) - 13(1) - 38 - 24 = 1 + 2 - 13 - 38 - 24 = 3 - 75 = -72 ≠ 0.

Coba x = 2:
P(2) = 2⁴ - 2(2)³ - 13(2)² + 38(2) - 24 = 16 - 2(8) - 13(4) + 76 - 24 = 16 - 16 - 52 + 76 - 24 = 92 - 92 = 0.

Karena P(2) = 0, maka x = 2 adalah salah satu akar. Ini berarti (x - 2) adalah faktor dari P(x).

Kita bisa menggunakan pembagian polinomial (sintetis atau bersusun) untuk membagi P(x) dengan (x - 2).

Menggunakan pembagian sintetis dengan akar 2:

   2 | 1  -2  -13   38  -24
     |    2    0  -26   24
     -----------------------
       1   0  -13   12    0

Hasil pembagiannya adalah polinomial derajat tiga: x³ + 0x² - 13x + 12 = x³ - 13x + 12.

Sekarang kita perlu mencari akar dari Q(x) = x³ - 13x + 12 = 0.

Coba lagi dengan Teorema Akar Rasional untuk Q(x). Faktor dari 12 adalah ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.
Kita sudah mencoba x=1 dan x=2 untuk P(x). Mari kita coba nilai lain.

Coba x = 3:
Q(3) = 3³ - 13(3) + 12 = 27 - 39 + 12 = 39 - 39 = 0.

Karena Q(3) = 0, maka x = 3 adalah salah satu akar. Ini berarti (x - 3) adalah faktor dari Q(x).

Menggunakan pembagian sintetis dengan akar 3 pada Q(x) = x³ - 13x + 12:

   3 | 1   0  -13   12
     |     3    9  -12
     ------------------
       1   3   -4    0

Hasil pembagiannya adalah polinomial kuadrat: x² + 3x - 4.

Sekarang kita perlu mencari akar dari R(x) = x² + 3x - 4 = 0.
Ini adalah persamaan kuadrat yang dapat difaktorkan:
(x + 4)(x - 1) = 0

Maka akar-akarnya adalah:
x + 4 = 0  => x = -4
x - 1 = 0  => x = 1

Jadi, akar-akar dari polinomial asli x⁵ - 2x⁴ - 13x³ + 38x² - 24x = 0 adalah:
1. x = 0 (dari faktorisasi awal)
2. x = 2 (ditemukan dari P(x))
3. x = 3 (ditemukan dari Q(x))
4. x = -4 (ditemukan dari R(x))
5. x = 1 (ditemukan dari R(x))

Urutan akar-akarnya adalah: -4, 0, 1, 2, 3.