Buktikan bahwa untuk n bilangan asli selalu berlaku: 3^n-2

Pembuktian menggunakan induksi matematika menunjukkan bahwa 3ⁿ - 2 ≥ 2ⁿ - 1 berlaku untuk semua bilangan asli n.

Pembahasan

Kita akan membuktikan bahwa untuk n bilangan asli, berlaku 3ⁿ - 2 ≥ 2ⁿ - 1.
Kita akan menggunakan metode induksi matematika.

Langkah 1: Buktikan P(1) benar.
Untuk n = 1:
3¹ - 2 = 3 - 2 = 1
2¹ - 1 = 2 - 1 = 1
Karena 1 ≥ 1, maka P(1) benar.

Langkah 2: Asumsikan P(k) benar untuk suatu bilangan asli k.
Asumsikan bahwa 3ᵏ - 2 ≥ 2ᵏ - 1 benar.

Langkah 3: Buktikan P(k+1) benar berdasarkan asumsi P(k).
Kita perlu membuktikan bahwa 3ᵏ⁺¹ - 2 ≥ 2ᵏ⁺¹ - 1 benar.

Dari asumsi P(k), kita tahu bahwa 3ᵏ ≥ 2ᵏ + 1.

Sekarang, mari kita lihat P(k+1):
3ᵏ⁺¹ - 2 = 3 * 3ᵏ - 2

Gunakan asumsi 3ᵏ ≥ 2ᵏ + 1:
3 * 3ᵏ - 2 ≥ 3 * (2ᵏ + 1) - 2
≥ 3 * 2ᵏ + 3 - 2
≥ 3 * 2ᵏ + 1

Kita ingin menunjukkan bahwa 3 * 2ᵏ + 1 ≥ 2ᵏ⁺¹ - 1.
Mari kita periksa apakah ketidaksetaraan ini benar:
3 * 2ᵏ + 1 ≥ 2 * 2ᵏ - 1
3 * 2ᵏ + 1 ≥ 2ᵏ⁺¹ - 1

Mari kita ubah bentuknya:
3 * 2ᵏ - 2 * 2ᵏ + 1 + 1 ≥ 0
(3 - 2) * 2ᵏ + 2 ≥ 0
1 * 2ᵏ + 2 ≥ 0
2ᵏ + 2 ≥ 0

Karena n adalah bilangan asli, maka k juga bilangan asli (k ≥ 1). Nilai 2ᵏ selalu positif (2ᵏ ≥ 2¹ = 2). Oleh karena itu, 2ᵏ + 2 selalu positif dan lebih besar dari atau sama dengan 4.
Jadi, ketidaksetaraan 2ᵏ + 2 ≥ 0 selalu benar untuk semua bilangan asli k.

Ini berarti bahwa 3 * 2ᵏ + 1 ≥ 2ᵏ⁺¹ - 1 juga benar.

Karena kita telah menunjukkan bahwa 3ᵏ⁺¹ - 2 ≥ 3 * 2ᵏ + 1 dan 3 * 2ᵏ + 1 ≥ 2ᵏ⁺¹ - 1, maka berdasarkan sifat transitif, kita dapat menyimpulkan bahwa 3ᵏ⁺¹ - 2 ≥ 2ᵏ⁺¹ - 1.

Dengan demikian, P(k+1) benar.

Kesimpulan:
Karena P(1) benar dan P(k) benar mengimplikasikan P(k+1) benar, maka berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan 3ⁿ - 2 ≥ 2ⁿ - 1 berlaku untuk semua bilangan asli n.