Buktikan bahwa untuk semua n bilangan asli

Pernyataan terbukti benar untuk semua n bilangan asli menggunakan metode induksi matematika.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan 1x2+2x3+3x4+...+n(n+1)=(n(n+1)(n+2))/3 menggunakan induksi matematika, kita ikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Basis Induksi
Untuk n=1, sisi kiri = 1(1+1) = 1x2 = 2.
Sisi kanan = (1(1+1)(1+2))/3 = (1x2x3)/3 = 6/3 = 2.
Karena sisi kiri = sisi kanan, pernyataan tersebut benar untuk n=1.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu:
1x2+2x3+3x4+...+k(k+1) = (k(k+1)(k+2))/3

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1. Artinya, kita harus menunjukkan bahwa:
1x2+2x3+3x4+...+k(k+1)+(k+1)(k+2) = ((k+1)((k+1)+1)((k+1)+2))/3
1x2+2x3+3x4+...+k(k+1)+(k+1)(k+2) = ((k+1)(k+2)(k+3))/3

Mulai dari sisi kiri dan gunakan hipotesis induksi:
[1x2+2x3+3x4+...+k(k+1)] + (k+1)(k+2)
= (k(k+1)(k+2))/3 + (k+1)(k+2)

Samakan penyebutnya:
= (k(k+1)(k+2))/3 + (3(k+1)(k+2))/3

Keluarkan faktor yang sama (k+1)(k+2):
= ((k+1)(k+2)(k + 3))/3

Ini sama dengan sisi kanan untuk n=k+1. Jadi, berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan tersebut benar untuk semua bilangan asli n.