Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat n, jika n^2

Bukti dengan kontraposisi: Asumsikan n ganjil (n = 2k+1), maka n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1, yang merupakan bilangan ganjil. Karena kontraposisinya benar, maka pernyataan aslinya benar.

Pembahasan

Kita akan membuktikan pernyataan "jika n^2 genap, maka n genap" menggunakan bukti kontraposisi. Bukti kontraposisi menyatakan bahwa "jika P maka Q" sama dengan "jika bukan Q maka bukan P". Dalam kasus ini:
P: n^2 genap
Q: n genap
Bukan Q: n ganjil
Bukan P: n^2 ganjil
Jadi, kita perlu membuktikan bahwa "jika n ganjil, maka n^2 ganjil".

Asumsikan n adalah bilangan ganjil. Menurut definisi bilangan ganjil, kita dapat menulis n sebagai 2k + 1, di mana k adalah bilangan bulat.
Sekarang, kita akan menghitung kuadrat dari n:
n^2 = (2k + 1)^2
n^2 = (2k + 1)(2k + 1)
n^2 = 4k^2 + 2k + 2k + 1
n^2 = 4k^2 + 4k + 1
Kita bisa memfaktorkan 2 dari dua suku pertama:
n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1
Misalkan m = 2k^2 + 2k. Karena k adalah bilangan bulat, maka 2k^2 + 2k juga merupakan bilangan bulat. Jadi, kita dapat menulis n^2 sebagai 2m + 1.
Menurut definisi bilangan ganjil, bentuk 2m + 1 menunjukkan bahwa n^2 adalah bilangan ganjil.

Karena kita telah berhasil membuktikan kontraposisinya (jika n ganjil, maka n^2 ganjil), maka pernyataan asli (jika n^2 genap, maka n genap) juga terbukti benar.