Buktikan dengan induksi matematika bahwa 2^n>n^3, untuk

Dengan induksi matematika, basis induksi (n=10) benar. Dengan hipotesis induksi 2^k > k^3, langkah induksi menunjukkan 2^(k+1) > (k+1)^3 dengan membandingkan 2k^3 dengan (k+1)^3.

Pembahasan

Untuk membuktikan 2^n > n^3 dengan induksi matematika untuk setiap bilangan bulat n > 9, kita lakukan langkah-langkah berikut:

1.  **Basis Induksi:**
    Kita harus menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk nilai awal n. Dalam kasus ini, nilai awal yang diberikan adalah n = 10 (karena n > 9).
    Untuk n = 10:
    2^10 = 1024
    10^3 = 1000
    Karena 1024 > 1000, maka pernyataan 2^n > n^3 benar untuk n = 10.

2.  **Hipotesis Induksi:**
    Asumsikan bahwa pernyataan 2^k > k^3 benar untuk suatu bilangan bulat sembarang k > 9.

3.  **Langkah Induksi:**
    Kita harus menunjukkan bahwa jika pernyataan benar untuk k, maka pernyataan tersebut juga benar untuk k+1. Yaitu, kita harus membuktikan bahwa 2^(k+1) > (k+1)^3.
    Dari hipotesis induksi, kita tahu bahwa 2^k > k^3.
    Kalikan kedua sisi dengan 2:
    2 * 2^k > 2 * k^3
    2^(k+1) > 2k^3

    Sekarang, kita perlu menunjukkan bahwa 2k^3 >= (k+1)^3 untuk k > 9.
    Mari kita periksa apakah 2k^3 > (k+1)^3 untuk k > 9.
    Ini setara dengan membuktikan bahwa 2 > ((k+1)/k)^3, atau 2 > (1 + 1/k)^3.
    Karena k > 9, maka 1/k < 1/9.
    (1 + 1/k) < (1 + 1/9) = 10/9.
    (1 + 1/k)^3 < (10/9)^3 = 1000/729 ≈ 1.37.
    Karena 2 > 1.37, maka dapat disimpulkan bahwa 2k^3 > (k+1)^3 untuk k > 9.

    Karena kita memiliki 2^(k+1) > 2k^3 dan 2k^3 > (k+1)^3 (untuk k > 9), maka berdasarkan sifat transitif, kita dapat menyimpulkan bahwa 2^(k+1) > (k+1)^3.

    **Kesimpulan:**
    Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan 2^n > n^3 benar untuk setiap bilangan bulat n > 9.