Kelas 11Kelas 12mathAljabar
Buktikan dengan induksi matematika bahwa 5^(n)+3 habis
Pertanyaan
Buktikan dengan induksi matematika bahwa $5^n + 3$ habis dibagi 4 untuk setiap n bilangan asli.
Solusi
Verified
Terbukti bahwa $5^n + 3$ habis dibagi 4 untuk setiap n bilangan asli menggunakan induksi matematika.
Pembahasan
Kita akan membuktikan dengan induksi matematika bahwa $5^n + 3$ habis dibagi 4 untuk setiap n bilangan asli. Langkah 1: Basis Induksi Untuk n=1, $5^1 + 3 = 5 + 3 = 8$. Karena 8 habis dibagi 4, maka pernyataan benar untuk n=1. Langkah 2: Hipotesis Induksi Asumsikan bahwa pernyataan benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu $5^k + 3$ habis dibagi 4. Ini berarti $5^k + 3 = 4m$ untuk suatu bilangan bulat m, atau $5^k = 4m - 3$. Langkah 3: Langkah Induksi Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan benar untuk n=k+1, yaitu $5^{k+1} + 3$ habis dibagi 4. $5^{k+1} + 3 = 5 imes 5^k + 3$ Substitusikan $5^k = 4m - 3$ dari hipotesis induksi: $5 imes (4m - 3) + 3 = 20m - 15 + 3 = 20m - 12$ Faktorkan 4 dari ekspresi tersebut: $20m - 12 = 4(5m - 3)$ Karena $5m - 3$ adalah bilangan bulat, maka $4(5m - 3)$ habis dibagi 4. Dengan demikian, terbukti bahwa $5^n + 3$ habis dibagi 4 untuk setiap n bilangan asli.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Induksi Matematika
Section: Pembuktian Induksi
Apakah jawaban ini membantu?