Buktikan dengan induksi matematika bahwa 5^(n)+3 habis

Terbukti bahwa $5^n + 3$ habis dibagi 4 untuk setiap n bilangan asli menggunakan induksi matematika.

Pembahasan

Kita akan membuktikan dengan induksi matematika bahwa $5^n + 3$ habis dibagi 4 untuk setiap n bilangan asli.

Langkah 1: Basis Induksi
Untuk n=1, $5^1 + 3 = 5 + 3 = 8$. Karena 8 habis dibagi 4, maka pernyataan benar untuk n=1.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu $5^k + 3$ habis dibagi 4. Ini berarti $5^k + 3 = 4m$ untuk suatu bilangan bulat m, atau $5^k = 4m - 3$.

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan benar untuk n=k+1, yaitu $5^{k+1} + 3$ habis dibagi 4.

$5^{k+1} + 3 = 5 	imes 5^k + 3$
Substitusikan $5^k = 4m - 3$ dari hipotesis induksi:
$5 	imes (4m - 3) + 3 = 20m - 15 + 3 = 20m - 12$
Faktorkan 4 dari ekspresi tersebut:
$20m - 12 = 4(5m - 3)$
Karena $5m - 3$ adalah bilangan bulat, maka $4(5m - 3)$ habis dibagi 4.

Dengan demikian, terbukti bahwa $5^n + 3$ habis dibagi 4 untuk setiap n bilangan asli.