Buktikan identitas-identitas berikut. (1-sin a)/cos a=cos

Identitas terbukti dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat yang sesuai.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas (1-sin a)/cos a = cos a/(1+sin a), kita dapat mulai dari salah satu sisi dan mengubahnya menjadi sisi lainnya.

Metode 1: Mulai dari sisi kiri
(1 - sin a) / cos a
Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari pembilang, yaitu (1 + sin a):
= [(1 - sin a)(1 + sin a)] / [cos a (1 + sin a)]
Menggunakan identitas (a-b)(a+b) = a^2 - b^2:
= [1^2 - sin^2 a] / [cos a (1 + sin a)]
= [1 - sin^2 a] / [cos a (1 + sin a)]
Menggunakan identitas Pythagoras sin^2 a + cos^2 a = 1, sehingga 1 - sin^2 a = cos^2 a:
= cos^2 a / [cos a (1 + sin a)]
Coret cos a di pembilang dan penyebut:
= cos a / (1 + sin a)

Ini sama dengan sisi kanan. Jadi, identitas terbukti.

Metode 2: Mulai dari sisi kanan
cos a / (1 + sin a)
Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut, yaitu (1 - sin a):
= [cos a (1 - sin a)] / [(1 + sin a)(1 - sin a)]
= [cos a (1 - sin a)] / [1^2 - sin^2 a]
= [cos a (1 - sin a)] / [1 - sin^2 a]
Menggunakan identitas Pythagoras 1 - sin^2 a = cos^2 a:
= [cos a (1 - sin a)] / cos^2 a
Coret cos a di pembilang dan penyebut:
= (1 - sin a) / cos a

Ini sama dengan sisi kiri. Jadi, identitas terbukti.