Buktikan identitas-identitas berikut.(sec^2 x+csc^2 x)/(sec

Membuktikan identitas dengan mengubah sisi kiri menjadi sisi kanan menggunakan identitas trigonometri dasar.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri (sec^2 x + csc^2 x) / (sec x csc x) = cot x + tan x, kita akan memulai dari sisi kiri identitas dan mengubahnya hingga sama dengan sisi kanan.

Sisi Kiri: (sec^2 x + csc^2 x) / (sec x csc x)

Kita tahu bahwa sec x = 1/cos x dan csc x = 1/sin x.
Substitusikan ini ke dalam persamaan:
= ((1/cos^2 x) + (1/sin^2 x)) / ((1/cos x) * (1/sin x))

Samakan penyebut di bagian pembilang:
= ((sin^2 x + cos^2 x) / (sin^2 x cos^2 x)) / (1 / (sin x cos x))

Karena sin^2 x + cos^2 x = 1:
= (1 / (sin^2 x cos^2 x)) / (1 / (sin x cos x))

Bagi kedua pecahan dengan mengalikan pecahan pertama dengan kebalikan pecahan kedua:
= (1 / (sin^2 x cos^2 x)) * (sin x cos x / 1)
= (sin x cos x) / (sin^2 x cos^2 x)
= 1 / (sin x cos x)

Sekarang, kita ubah ekspresi ini menjadi bentuk yang mengandung tan x dan cot x. Kita bisa memisahkan penyebutnya:
= (1 / sin x) * (1 / cos x)

Kita tahu bahwa 1/cos x = sec x dan 1/sin x = csc x. Namun, kita ingin mencapai tan x dan cot x.
Mari kita kembali ke langkah sebelum menyederhanakan:
= (sin^2 x + cos^2 x) / (sin^2 x cos^2 x) * (sin x cos x)

Perhatikan bahwa kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan sin x cos x:
= (sin x cos x) / (sin^2 x cos^2 x) * (sin^2 x + cos^2 x)

Ini tidak membantu. Mari kita coba cara lain dari 1 / (sin x cos x):
Kita bisa menulis 1 sebagai sin^2 x + cos^2 x:
= (sin^2 x + cos^2 x) / (sin x cos x)

Pisahkan menjadi dua suku:
= sin^2 x / (sin x cos x) + cos^2 x / (sin x cos x)

Sederhanakan setiap suku:
= sin x / cos x + cos x / sin x

Kita tahu bahwa sin x / cos x = tan x dan cos x / sin x = cot x.
Jadi, hasilnya adalah:
= tan x + cot x

Ini sama dengan Sisi Kanan. Oleh karena itu, identitas terbukti.