Buktikan identitas trigonometri berikut.1/sin x+1/tan x=sin

Terbukti dengan mengubah sisi kiri menjadi sisi kanan menggunakan identitas trigonometri.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri $\frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\tan x} = \frac{\sin x}{1 - \cos x}$, kita akan mulai dari sisi kiri dan mengubahnya hingga sama dengan sisi kanan.

Sisi Kiri (SK):
$SK = \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\tan x}$

Kita tahu bahwa $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Substitusikan ini ke dalam persamaan:
$SK = \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}}$

$SK = \frac{1}{\sin x} + \frac{\cos x}{\sin x}$

Karena kedua suku memiliki penyebut yang sama (sin x), kita bisa menjumlahkan pembilangnya:
$SK = \frac{1 + \cos x}{\sin x}$

Sekarang, kita perlu mengubah bentuk ini agar sama dengan sisi kanan ($\frac{\sin x}{1 - \cos x}$). Kita bisa menggunakan identitas $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, yang berarti $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari pembilang, yaitu $(1 - \cos x)$:
$SK = \frac{1 + \cos x}{\sin x} \times \frac{1 - \cos x}{1 - \cos x}$

$SK = \frac{(1 + \cos x)(1 - \cos x)}{\sin x (1 - \cos x)}$

Pada pembilang, kita menggunakan selisih kuadrat $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$SK = rac{1^2 - \cos^2 x}{\sin x (1 - \cos x)}$

$SK = rac{1 - \cos^2 x}{\sin x (1 - \cos x)}$

Karena $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$:
$SK = rac{\sin^2 x}{\sin x (1 - \cos x)}$

Sederhanakan dengan membatalkan satu faktor $\sin x$ di pembilang dan penyebut:
$SK = rac{\sin x}{1 - \cos x}$

Ini sama dengan Sisi Kanan (SI).

$SK = SI$

Terbukti bahwa $\frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\tan x} = \frac{\sin x}{1 - \cos x}$.