Rumus suku ke-n dari barisan 2, 4, 7, 10, ... adalah ...

Rumus suku ke-n adalah U1=2, U2=4, dan Un=3n-2 untuk n ≥ 3.

Pembahasan

Untuk menemukan rumus suku ke-n dari barisan 2, 4, 7, 10, ..., kita perlu mengidentifikasi pola barisan tersebut.

Mari kita lihat selisih antara suku-suku yang berurutan:
*   Suku ke-2 - Suku ke-1 = 4 - 2 = 2
*   Suku ke-3 - Suku ke-2 = 7 - 4 = 3
*   Suku ke-4 - Suku ke-3 = 10 - 7 = 3

Selisihnya tidak konstan, jadi ini bukan barisan aritmatika.

Mari kita lihat selisih dari selisih (tingkat kedua):
*   3 - 2 = 1
*   3 - 3 = 0

Selisih tingkat kedua juga tidak konstan. Ini menunjukkan bahwa barisan ini mungkin bukan barisan aritmatika tingkat kedua. Mari kita periksa kembali selisihnya:

Barisan: 2, 4, 7, 10, ...
Selisih:  +2, +3, +3, ...

Ada kemungkinan ada kesalahan dalam penulisan barisan atau polanya tidak standar. Namun, jika kita melihat selisihnya (2, 3, 3), ada kemungkinan pola selisihnya adalah 2, 3, 4, 5,... atau pola lainnya.

Jika kita berasumsi ada kesalahan ketik dan barisannya seharusnya 2, 4, 7, 11, ... (selisihnya 2, 3, 4), maka ini adalah barisan aritmatika tingkat kedua.
Untuk barisan aritmatika tingkat kedua, rumus suku ke-n adalah Un = an^2 + bn + c.

Untuk barisan 2, 4, 7, 10:
U1 = 2
U2 = 4
U3 = 7
U4 = 10

Selisih:
U2-U1 = 2
U3-U2 = 3
U4-U3 = 3

Selisih kedua:
3-2 = 1
3-3 = 0

Karena selisih kedua tidak konstan, ini bukan barisan aritmatika tingkat dua yang standar.

Mari kita coba pola lain. Perhatikan selisihnya: 2, 3, 3. Jika selisihnya berlanjut seperti itu, maka suku berikutnya adalah 10+3=13, barisannya menjadi 2, 4, 7, 10, 13, ...

Jika kita mengasumsikan pola selisihnya adalah 2, 3, 4, 5, ... maka barisannya adalah:
U1 = 2
U2 = 2 + 2 = 4
U3 = 4 + 3 = 7
U4 = 7 + 4 = 11
U5 = 11 + 5 = 16

Barisannya adalah 2, 4, 7, 11, 16, ...
Ini adalah barisan aritmatika tingkat kedua.
Un = an^2 + bn + c
2a = selisih kedua (1) => a = 1/2
3a + b = selisih pertama (2) => 3(1/2) + b = 2 => 3/2 + b = 2 => b = 1/2
a + b + c = suku pertama (2) => 1/2 + 1/2 + c = 2 => 1 + c = 2 => c = 1

Maka, Un = (1/2)n^2 + (1/2)n + 1 = (n^2 + n + 2) / 2.

Namun, jika kita kembali ke barisan asli 2, 4, 7, 10:
Ada kemungkinan ini adalah barisan yang dibentuk dengan menambahkan n ke suku sebelumnya setelah suku kedua, atau ada pola lain.

Suku ke-n = Suku ke-(n-1) + (n-1) + 1? untuk n >= 3?
U3 = U2 + (3-1)+1 = 4 + 2 + 1 = 7 (Cocok)
U4 = U3 + (4-1)+1 = 7 + 3 + 1 = 11 (Tidak cocok, seharusnya 10)

Mari kita coba pola lain. Perhatikan selisihnya: 2, 3, 3. 
Ini mirip dengan barisan aritmatika, tetapi selisihnya tidak konstan.

Jika kita melihat selisihnya:
U1 = 2
U2 = U1 + 2 = 4
U3 = U2 + 3 = 7
U4 = U3 + 3 = 10

Jika kita mengasumsikan bahwa selisihnya adalah 2, 3, 3, 3, ... maka U5 = 10 + 3 = 13.
Rumusnya akan sulit ditemukan dengan pola selisih yang seperti ini.

Kemungkinan lain: Barisan ini adalah jumlah dari sebuah konstanta dan suku-suku dari barisan lain.
Misal: Un = n + Somenumber?
Tidak.

Mari kita coba lagi dengan asumsi barisan aritmatika tingkat kedua jika polanya adalah 2, 3, 4, 5.
Un = (n^2 + n + 2) / 2
U1 = (1+1+2)/2 = 2
U2 = (4+2+2)/2 = 4
U3 = (9+3+2)/2 = 7
U4 = (16+4+2)/2 = 11 (Ini tidak cocok dengan soal yang 10)

Jika kita mengasumsikan barisan tersebut adalah 2, 4, 7, 10, dan selisihnya adalah 2, 3, 3, maka kita tidak dapat menentukan rumus suku ke-n dengan mudah menggunakan metode standar barisan aritmatika atau geometri.

Namun, jika kita melihat soal ini sebagai soal pilihan ganda dan kita memiliki pilihan jawaban, kita bisa mengujinya.

Jika kita perhatikan selisihnya lebih dekat ke barisan aritmatika:
2 (+2) 4 (+3) 7 (+3) 10

Mari kita coba pola yang sedikit berbeda: U_n = U_{n-1} + a_{n-1} di mana a adalah barisan selisih.
Jika a = 2, 3, 3, ...

Ada kemungkinan ada kesalahan dalam penulisan soal. Namun, jika kita harus mencari pola yang paling mungkin dari 2, 4, 7, 10, salah satu interpretasi adalah bahwa selisihnya adalah 2, lalu 3, lalu 3 lagi. Ini bisa mengindikasikan sesuatu yang berkaitan dengan indeks atau kondisi.

Jika kita melihat selisihnya sebagai 2, 3, 3, maka suku ke-n mungkin memiliki komponen yang naik secara linier dan komponen yang konstan setelah titik tertentu.

Mari kita coba lihat apakah ada pola Un = An + B atau Un = An^2 + Bn + C yang mendekati:

Jika kita anggap ini adalah barisan aritmatika yang 'sedikit' menyimpang, kita bisa mencoba mencari rumus yang paling cocok.

Salah satu kemungkinan pola adalah: Suku ke-n = Suku ke-(n-1) + 2 jika n=2, dan Suku ke-n = Suku ke-(n-1) + 3 jika n > 2.

U1 = 2
U2 = U1 + 2 = 4
U3 = U2 + 3 = 7
U4 = U3 + 3 = 10
U5 = U4 + 3 = 13

Dengan pola ini, rumus suku ke-n tidak dapat dinyatakan dalam satu formula tunggal yang sederhana seperti Un = an + b atau Un = an^2 + bn + c tanpa kondisi.

Namun, jika kita kembali ke kemungkinan barisan aritmatika tingkat kedua dengan selisih 2, 3, 4, 5,... (yaitu 2, 4, 7, 11, 16,...), rumusnya adalah Un = (n^2 + n + 2) / 2.
Untuk soal ini, jika kita harus memberikan jawaban, dan asumsi paling umum adalah kesalahan penulisan dan seharusnya barisan aritmatika tingkat kedua dengan selisih yang meningkat.

Jika kita menganggap barisan yang dimaksud adalah 2, 4, 7, 11, maka rumus suku ke-n adalah Un = (n^2 + n + 2) / 2.

Namun, jika kita berpegang teguh pada barisan 2, 4, 7, 10, dan selisihnya adalah 2, 3, 3, maka rumus suku ke-n tidak standar.

Kemungkinan lain: U_n = n + (n-1) + (n-2) ...?

Mari kita cek jika ada pola Un = n + k:
U1=1+k=2 => k=1
U2=2+k=4 => k=2 (tidak cocok)

Mari kita cek jika ada pola Un = n^2 + k:
U1=1+k=2 => k=1
U2=4+k=4 => k=0 (tidak cocok)

Mari kita cek jika ada pola Un = n^2 - n + 2:
U1 = 1-1+2 = 2
U2 = 4-2+2 = 4
U3 = 9-3+2 = 8 (tidak cocok)

Mari kita coba pola Un = a*n + b:
Ini barisan aritmatika biasa, yang selisihnya konstan. Ini bukan.

Kemungkinan soal ini mengacu pada jenis barisan yang berbeda atau ada informasi tambahan yang hilang.

Jika kita melihat soal ini dalam konteks ujian, dan kita harus memilih jawaban, kita harus mencari pola yang paling masuk akal. Pola selisih 2, 3, 3 bisa jadi menyiratkan sesuatu seperti:
U_n = n + (n-1) + ...?

Perhatikan:
U1 = 2
U2 = 4 = 2 + 2
U3 = 7 = 4 + 3
U4 = 10 = 7 + 3

Jika kita melihat selisihnya, U_n - U_{n-1} = d_n. Maka d_2 = 2, d_3 = 3, d_4 = 3.
Jika d_n = 3 untuk n >= 3, maka:
U_n = U_2 + (n-2)*3 untuk n >= 3.
U_n = 4 + (n-2)*3 = 4 + 3n - 6 = 3n - 2 untuk n >= 3.
Mari kita cek:
U3 = 3*3 - 2 = 9 - 2 = 7 (Cocok)
U4 = 3*4 - 2 = 12 - 2 = 10 (Cocok)
U5 = 3*5 - 2 = 15 - 2 = 13.

Jadi, barisan ini memiliki rumus:
U1 = 2
U2 = 4
Un = 3n - 2, untuk n >= 3.

Rumus suku ke-n yang umum biasanya dalam satu bentuk. Jika soal ini mengharapkan satu rumus, maka ada kemungkinan ada kesalahan.

Namun, jika kita harus memberikan rumus yang paling mendekati atau mencakup sebagian besar pola, kita bisa merujuk pada pola selisih 2, 3, 3, 3, ...

Jawaban yang paling mungkin berdasarkan pola selisih yang diberikan adalah sebagai berikut, meskipun tidak dalam satu formula tunggal yang mulus:
U_n = 3n - 2, untuk n ≥ 3, dengan U1=2 dan U2=4.