Buktikan identitas trigonometri berikut ini. (cot x-tan

Pembuktian identitas trigonometri $\\frac{\cot x - \tan x}{\cos x - \sin x} = \frac{\cot x + \tan x}{\sin x + \cos x}$ menunjukkan adanya ketidaksesuaian pada soal.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri $\frac{\cot x - \tan x}{\cos x - \sin x} = \frac{\cot x + \tan x}{\sin x + \cos x}$, kita dapat memulai dari salah satu sisi dan mengubahnya menjadi sisi lainnya.

Mari kita mulai dari sisi kiri:
$\\frac{\cot x - \tan x}{\cos x - \sin x}$
Ubah $\cot x$ menjadi $\frac{\cos x}{\sin x}$ dan $\tan x$ menjadi $\frac{\sin x}{\cos x}$:
$= \frac{\frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x}}{\cos x - \sin x}$
Samakan penyebut pada pembilang:
$= \frac{\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x}}{\cos x - \sin x}$
Pindahkan penyebut $\sin x \cos x$ ke bawah:
$= \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x (\cos x - \sin x)}$
Faktorkan pembilang menggunakan rumus selisih kuadrat ($"a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$", di mana $a=\cos x$ dan $b=\sin x$):
$= \frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\sin x \cos x (\cos x - \sin x)}$
Coret $(\cos x - \sin x)$ yang sama di pembilang dan penyebut:
$= \frac{\cos x + \sin x}{\sin x \cos x}$

Sekarang, mari kita ubah sisi kanan:
$\\frac{\cot x + \tan x}{\sin x + \cos x}$
Ubah $\cot x$ menjadi $\frac{\cos x}{\sin x}$ dan $\tan x$ menjadi $\frac{\sin x}{\cos x}$:
$= \frac{\frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x + \cos x}$
Samakan penyebut pada pembilang:
$= \frac{\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\sin x \cos x}}{\sin x + \cos x}$
Gunakan identitas $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$:
$= \frac{\frac{1}{\sin x \cos x}}{\sin x + \cos x}$
Pindahkan penyebut $\sin x \cos x$ ke bawah:
$= \frac{1}{\sin x \cos x (\sin x + \cos x)}$

Sepertinya ada kesalahan dalam soal karena kedua sisi tidak sama. Namun, jika soalnya adalah membuktikan $\\frac{\cot x - \tan x}{\cos x - \sin x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$, maka pembuktiannya sudah selesai di sisi kiri. Jika soalnya adalah membuktikan $\\frac{\cot x + \tan x}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$, maka pembuktiannya sudah selesai di sisi kanan.

Asumsi jika soalnya adalah membuktikan $\\frac{\cot x - \tan x}{\cos x - \sin x} = \frac{\cos x + \sin x}{\sin x \cos x}$, maka terbukti.

Asumsi jika soalnya adalah membuktikan $\\frac{\cot x + \tan x}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$, maka terbukti.

Karena ada ketidaksesuaian dalam soal, saya akan menjawab berdasarkan pembuktian sisi kiri agar sama dengan $\\frac{\cos x + \sin x}{\sin x \cos x}$.