Buktikan identitas trigonometri berikut. (tan a+cot a)/(tan

Identitas terbukti dengan menyederhanakan sisi kiri menjadi -1/cos(2a) dan menunjukkan bahwa sisi kanan juga sama dengan -1/cos(2a) menggunakan identitas cos(2a) = 2cos^2 a - 1.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri (tan a + cot a) / (tan a - cot a) = 1 / (1 - 2cos^2 a), kita akan menyederhanakan sisi kiri dan menunjukkan bahwa hasilnya sama dengan sisi kanan.

Sisi Kiri:
(tan a + cot a) / (tan a - cot a)

Ubah tan a dan cot a ke dalam bentuk sin a dan cos a:
tan a = sin a / cos a
cot a = cos a / sin a

Substitusikan ke dalam ekspresi:
((sin a / cos a) + (cos a / sin a)) / ((sin a / cos a) - (cos a / sin a))

Samakan penyebut di pembilang dan penyebut:
Pembilang: (sin^2 a + cos^2 a) / (sin a cos a)
Penyebut: (sin^2 a - cos^2 a) / (sin a cos a)

Karena sin^2 a + cos^2 a = 1, maka pembilang menjadi: 1 / (sin a cos a)
Karena sin^2 a - cos^2 a = -(cos^2 a - sin^2 a) = -cos(2a), maka penyebut menjadi: -cos(2a) / (sin a cos a)

Sekarang bagi pembilang dengan penyebut:
(1 / (sin a cos a)) / (-cos(2a) / (sin a cos a))
= 1 / (-cos(2a))
= -1 / cos(2a)

Sekarang mari kita lihat sisi kanan:
1 / (1 - 2cos^2 a)

Kita tahu identitas cos(2a) = 2cos^2 a - 1.
Maka, 1 - 2cos^2 a = -(2cos^2 a - 1) = -cos(2a).

Jadi, sisi kanan menjadi: 1 / (-cos(2a))
= -1 / cos(2a)

Karena sisi kiri (-1 / cos(2a)) sama dengan sisi kanan (-1 / cos(2a)), maka identitas trigonometri tersebut terbukti benar.

**Alternatif penyederhanaan sisi kiri:**
(tan a + cot a) / (tan a - cot a)
= (tan a + 1/tan a) / (tan a - 1/tan a)
= ((tan^2 a + 1)/tan a) / ((tan^2 a - 1)/tan a)
= (tan^2 a + 1) / (tan^2 a - 1)

Kita tahu tan^2 a + 1 = sec^2 a = 1/cos^2 a.
Dan tan^2 a - 1 = (sin^2 a / cos^2 a) - 1 = (sin^2 a - cos^2 a) / cos^2 a = -cos(2a) / cos^2 a.

Maka, sisi kiri menjadi:
(1/cos^2 a) / (-cos(2a) / cos^2 a)
= 1 / (-cos(2a))
= -1 / cos(2a)

Sisi kanan:
1 / (1 - 2cos^2 a)
Karena cos(2a) = 2cos^2 a - 1, maka 1 - 2cos^2 a = -(2cos^2 a - 1) = -cos(2a).
Jadi sisi kanan = 1 / (-cos(2a)) = -1 / cos(2a).

Kedua sisi terbukti sama.