Buktikan kebenaran operasi notasi sigma di bawah ini dengan

Terbukti dengan mengubah indeks notasi sigma kedua dan menggabungkannya.

Pembahasan

Untuk membuktikan kebenaran operasi notasi sigma yang diberikan, yaitu $\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=4}^{n+3} (2k+1) = \sum_{k=1}^{n} (k^2+2k+7)$, kita akan memanipulasi kedua sisi persamaan agar sama. 

Mari kita fokus pada sisi kiri persamaan terlebih dahulu: $\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=4}^{n+3} (2k+1)$.

Suku pertama sudah dalam bentuk yang diinginkan. Sekarang kita ubah suku kedua, $\sum_{k=4}^{n+3} (2k+1)$. Kita bisa mengubah indeksnya agar dimulai dari 1. Misalkan $j = k - 3$, sehingga $k = j + 3$. Ketika $k = 4$, $j = 1$. Ketika $k = n+3$, $j = n$. Maka suku kedua menjadi:
$\sum_{j=1}^{n} (2(j+3)+1) = \sum_{j=1}^{n} (2j+6+1) = \sum_{j=1}^{n} (2j+7)$.

Karena variabel indeks penjumlahan tidak mempengaruhi hasil, kita bisa mengganti $j$ dengan $k$: $\sum_{k=1}^{n} (2k+7)$.

Jadi, sisi kiri persamaan menjadi: $\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} (2k+7)$.

Sekarang, kita bisa menggabungkan kedua notasi sigma karena batasnya sama:
$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + (2k+7)) = \sum_{k=1}^{n} (k^2+2k+7)$.

Ini sama persis dengan sisi kanan persamaan yang diberikan. Oleh karena itu, kebenaran operasi notasi sigma tersebut telah terbukti.