Bayangan garis k oleh transformasi matriks M=(-2 1 0 3)

3x - 2y = 2

Pembahasan

Untuk menemukan persamaan garis k, kita perlu menguraikan transformasi yang diberikan. Transformasi tersebut terdiri dari dua langkah: pertama oleh matriks M = (-2 1 / 0 3) dan kedua oleh pencerminan terhadap garis y = -x.

Misalkan persamaan garis k adalah ax + by = c. Jika sebuah titik (x, y) pada garis k ditransformasikan, bayangannya adalah (x', y').

Langkah 1: Transformasi oleh matriks M.
Matriks M = [[-2, 1], [0, 3]].
Jika kita menganggap garis k sebagai vektor [[x], [y]], maka bayangannya setelah transformasi oleh M adalah:
[[x'], [y']] = [[-2, 1], [0, 3]] * [[x], [y]] = [[-2x + y], [3y]]
Jadi, x' = -2x + y dan y' = 3y. Dari sini, kita bisa mengekspresikan x dan y dalam bentuk x' dan y'.
y = y'/3
x' = -2x + y'/3
2x = y'/3 - x'
x = (y' - 3x') / 6

Langkah 2: Pencerminan terhadap garis y = -x.
Jika sebuah titik (x', y') dicerminkan terhadap garis y = -x, bayangannya (x'', y'') adalah:
x'' = -y'
y'' = -x'

Jadi, bayangan akhir dari titik (x, y) pada garis k adalah (x'', y'') = (-y'/3, -(y' - 3x') / 6).

Kita tahu bahwa bayangan akhir ini terletak pada garis 2x - 3y = 2. Kita substitusikan koordinat bayangan akhir ke dalam persamaan garis ini:
2(x'') - 3(y'') = 2
2(-y'/3) - 3(-(y' - 3x') / 6) = 2
-2y'/3 + 3(y' - 3x') / 6 = 2
Kalikan seluruh persamaan dengan 6 untuk menghilangkan penyebut:
6(-2y'/3) + 6(3(y' - 3x') / 6) = 6(2)
-4y' + 3(y' - 3x') = 12
-4y' + 3y' - 9x' = 12
-y' - 9x' = 12
9x' + y' = -12

Sekarang kita perlu mengembalikan variabel x' dan y' ke variabel asli x dan y dari garis k. Ingat bahwa:
x' = -2x + y
y' = 3y

Substitusikan kembali:
9(-2x + y) + (3y) = -12
-18x + 9y + 3y = -12
-18x + 12y = -12
Bagi seluruh persamaan dengan -6 untuk menyederhanakannya:
3x - 2y = 2

Jadi, persamaan garis k adalah 3x - 2y = 2.