Buktikan menggunakan induksi matematika. n^3+5n habis

Terbukti bahwa n^3+5n habis dibagi 3 untuk setiap n bilangan asli menggunakan induksi matematika.

Pembahasan

Kita akan membuktikan menggunakan induksi matematika bahwa n^3 + 5n habis dibagi 3 untuk setiap n bilangan asli.

Langkah 1: Basis Induksi (Untuk n=1)
Substitusikan n=1 ke dalam pernyataan: 1^3 + 5(1) = 1 + 5 = 6.
Karena 6 habis dibagi 3 (6 = 3 * 2), maka pernyataan benar untuk n=1.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu k^3 + 5k habis dibagi 3. Ini berarti k^3 + 5k = 3m untuk suatu bilangan bulat m.

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1. Artinya, kita perlu menunjukkan bahwa (k+1)^3 + 5(k+1) habis dibagi 3.

Jabarkan (k+1)^3 + 5(k+1):
(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1
5(k+1) = 5k + 5

Jadi, (k+1)^3 + 5(k+1) = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + (5k + 5)
= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 5k + 5
= k^3 + 3k^2 + 8k + 6

Sekarang, kita ingin menghubungkan ekspresi ini dengan hipotesis induksi (k^3 + 5k).
Kita bisa menulis ulang ekspresi di atas sebagai:
= (k^3 + 5k) + 3k^2 + 3k + 6

Dari hipotesis induksi, kita tahu bahwa k^3 + 5k = 3m.
Jadi, ekspresi tersebut menjadi:
= 3m + 3k^2 + 3k + 6

Kita bisa memfaktorkan 3 dari seluruh ekspresi:
= 3(m + k^2 + k + 2)

Karena (m + k^2 + k + 2) adalah hasil penjumlahan bilangan bulat, maka ekspresi tersebut merupakan kelipatan 3. Ini berarti (k+1)^3 + 5(k+1) habis dibagi 3.

Kesimpulan:
Karena pernyataan tersebut benar untuk n=1 (basis induksi) dan jika benar untuk n=k maka juga benar untuk n=k+1 (langkah induksi), maka berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan n^3 + 5n habis dibagi 3 benar untuk setiap bilangan asli n.