Buktikan pernyataan berikut dengan menggunakan induksi

Pernyataan terbukti benar untuk n=1. Dengan asumsi benar untuk k, dibuktikan benar untuk k+1.

Pembahasan

Kita akan membuktikan pernyataan 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^(n-1) = (3^n - 1) / 2 menggunakan induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi (n=1)
Untuk n=1, sisi kiri adalah suku pertama, yaitu 3^(1-1) = 3^0 = 1.
Sisi kanan adalah (3^1 - 1) / 2 = (3 - 1) / 2 = 2 / 2 = 1.
Karena sisi kiri = sisi kanan, pernyataan tersebut benar untuk n=1.

Langkah 2: Asumsi Induksi
Asumsikan pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu:
1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^(k-1) = (3^k - 1) / 2

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita harus membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1. Artinya, kita harus menunjukkan bahwa:
1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^k = (3^(k+1) - 1) / 2

Mulai dari sisi kiri pernyataan untuk n = k+1:
(1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^(k-1)) + 3^k

Berdasarkan asumsi induksi, kita bisa mengganti bagian dalam kurung:
((3^k - 1) / 2) + 3^k

Sekarang, kita samakan penyebutnya agar bisa dijumlahkan:
(3^k - 1) / 2 + (2 * 3^k) / 2

Jumlahkan kedua pecahan tersebut:
(3^k - 1 + 2 * 3^k) / 2

Gabungkan suku-suku yang serupa (3^k dan 2 * 3^k):
(1 * 3^k + 2 * 3^k - 1) / 2
(3 * 3^k - 1) / 2

Gunakan sifat eksponen (a^m * a^n = a^(m+n)):
(3^(k+1) - 1) / 2

Ini adalah sisi kanan dari pernyataan yang ingin kita buktikan untuk n = k+1.

Kesimpulan:
Karena pernyataan tersebut benar untuk n=1 (basis induksi) dan jika benar untuk n=k maka benar pula untuk n=k+1 (langkah induksi), maka berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^(n-1) = (3^n - 1) / 2 benar untuk semua bilangan bulat positif n.