Himpunan penyelesaian dari persamaan 5log(3x^2 - 5x +

Himpunan penyelesaiannya adalah {1/2, 3}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma $${^5 \log(3x^2 - 5x + 2) = {^5 
olong
olimits(x^2 + 2x - 1)}$$ , kita perlu menyamakan argumen dari kedua logaritma karena basisnya sama.

Langkah 1: Samakan argumen logaritma.
$$3x^2 - 5x + 2 = x^2 + 2x - 1$$ 

Langkah 2: Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat.
$$3x^2 - x^2 - 5x - 2x + 2 + 1 = 0$$ 
$$2x^2 - 7x + 3 = 0$$ 

Langkah 3: Faktorkan persamaan kuadrat atau gunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai x.
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $$2 \times 3 = 6$$ dan jika dijumlahkan menghasilkan -7. Bilangan tersebut adalah -1 dan -6.
$$2x^2 - 6x - x + 3 = 0$$ 
$$2x(x - 3) - 1(x - 3) = 0$$ 
$$(2x - 1)(x - 3) = 0$$ 

Maka, solusi sementara adalah:
$$2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$$ 
$$x - 3 = 0 \implies x = 3$$ 

Langkah 4: Periksa syarat numerus (argumen logaritma) agar positif.
Syarat numerus adalah argumen logaritma harus lebih besar dari 0.
Kita perlu memeriksa kedua argumen: $$(3x^2 - 5x + 2 > 0)$$ dan $$(x^2 + 2x - 1 > 0)$$.

Untuk x = 3:
Argumen 1: $$3(3)^2 - 5(3) + 2 = 3(9) - 15 + 2 = 27 - 15 + 2 = 14$$ (Positif)
Argumen 2: $$(3)^2 + 2(3) - 1 = 9 + 6 - 1 = 14$$ (Positif)
Karena kedua argumen positif untuk x = 3, maka x = 3 adalah solusi yang valid.

Untuk x = 1/2:
Argumen 1: $$3(\frac{1}{2})^2 - 5(\frac{1}{2}) + 2 = 3(\frac{1}{4}) - \frac{5}{2} + 2 = \frac{3}{4} - \frac{10}{4} + \frac{8}{4} = \frac{1}{4}$$ (Positif)
Argumen 2: $$(\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2}) - 1 = \frac{1}{4} + 1 - 1 = \frac{1}{4}$$ (Positif)
Karena kedua argumen positif untuk x = 1/2, maka x = 1/2 adalah solusi yang valid.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1/2, 3}.