Buktikan peryataan-peryataan berikut menggunakan induksi

Basis induksi (n=1, 2, 3) terbukti benar. Langkah induksi menunjukkan bahwa 2/3 <= x(m+1) <= 2, yang memenuhi x(m+1) <= 3 tetapi tidak secara langsung membuktikan x(m+1) >= 1.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan ini menggunakan induksi matematika, kita perlu menunjukkan bahwa basis induksi benar dan langkah induksi juga benar.

Basis Induksi:
Kita perlu memeriksa apakah pernyataan tersebut benar untuk n=1, n=2, dan n=3.
Untuk n=1: x1 = 1. Pernyataan 1 <= x1 <= 3 adalah 1 <= 1 <= 3, yang benar.
Untuk n=2: x2 = 3. Pernyataan 1 <= x2 <= 3 adalah 1 <= 3 <= 3, yang benar.
Untuk n=3: x3 = 1/3(x2 + x1) = 1/3(3 + 1) = 4/3. Pernyataan 1 <= x3 <= 3 adalah 1 <= 4/3 <= 3, yang benar.

Langkah Induksi:
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk semua bilangan asli k, di mana 1 <= k <= m, untuk suatu bilangan asli m >= 3. Artinya, 1 <= xk <= 3 untuk 1 <= k <= m.
Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = m+1, yaitu 1 <= x(m+1) <= 3.

Dari definisi rekursif, kita memiliki x(m+1) = 1/3(xm + x(m-1)).
Karena kita mengasumsikan 1 <= xm <= 3 dan 1 <= x(m-1) <= 3,
maka:
1/3(1 + 1) <= 1/3(xm + x(m-1)) <= 1/3(3 + 3)
2/3 <= x(m+1) <= 6/3
2/3 <= x(m+1) <= 2

Hasil ini menunjukkan bahwa x(m+1) <= 2, yang berarti x(m+1) <= 3. Namun, kita perlu menunjukkan bahwa x(m+1) >= 1.

Mari kita tinjau ulang basis induksi dan langkah induksi. Ada kemungkinan ada kesalahan dalam soal atau asumsi awal. Namun, berdasarkan perhitungan yang ada:
Basis induksi (n=1, 2, 3) terbukti benar.
Langkah induksi menunjukkan bahwa x(m+1) berada di antara 2/3 dan 2.
Ini berarti bahwa meskipun 1 <= xk <= 3 untuk k=1, 2, 3, dan kita bisa menunjukkan bahwa x(m+1) <= 3, kita tidak bisa secara langsung membuktikan x(m+1) >= 1 hanya dari x(m) dan x(m-1).

Perlu diperiksa kembali apakah formula rekursif atau rentang yang diberikan sudah benar. Jika kita hanya menggunakan informasi yang diberikan, langkah induksi untuk membuktikan 1 <= x(m+1) <= 3 belum sepenuhnya berhasil tanpa asumsi tambahan atau klarifikasi.