Buktikan setiap identitas trigonometri berikut. (cos(A-B) -

Terbukti menggunakan rumus penjumlahan dan pengurangan sudut.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri $(cos(A-B) - cos(A+B))/(sin(A+B)+sin(A-B)) = tan B$, kita akan menggunakan rumus-rumus penjumlahan dan pengurangan sudut.

Rumus yang digunakan:
1. $cos(A-B) = cos A cos B + sin A sin B$
2. $cos(A+B) = cos A cos B - sin A sin B$
3. $sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B$
4. $sin(A-B) = sin A cos B - cos A sin B$
5. $tan B = sin B / cos B$

Langkah-langkah pembuktian:

Ubah bagian pembilang (numerator):
$cos(A-B) - cos(A+B) = (cos A cos B + sin A sin B) - (cos A cos B - sin A sin B)$
$= cos A cos B + sin A sin B - cos A cos B + sin A sin B$
$= 2 sin A sin B$

Ubah bagian penyebut (denominator):
$sin(A+B) + sin(A-B) = (sin A cos B + cos A sin B) + (sin A cos B - cos A sin B)$
$= sin A cos B + cos A sin B + sin A cos B - cos A sin B$
$= 2 sin A cos B$

Sekarang, substitusikan hasil pembilang dan penyebut ke dalam persamaan awal:
$(2 sin A sin B) / (2 sin A cos B)$

Kita bisa menyederhanakan dengan membatalkan $2 sin A$ di pembilang dan penyebut (dengan asumsi $sin A \neq 0$):
$sin B / cos B$

Berdasarkan definisi identitas trigonometri, $sin B / cos B = tan B$.

Jadi, $(cos(A-B) - cos(A+B))/(sin(A+B)+sin(A-B)) = tan B$ telah terbukti.