Buktikan:sigma i=1 n ai=sigma i=0 n-1 ai+1

Kesetaraan terbukti dengan mengubah indeks penjumlahan pada sisi kanan.

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah \(\sum_{i=1}^{n} a_i = \sum_{i=0}^{n-1} a_{i+1}\). Kita perlu membuktikan kesetaraan ini.

Mari kita uraikan kedua sisi persamaan:

Sisi Kiri: \(\sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n

Sisi Kanan: \(\sum_{i=0}^{n-1} a_{i+1}\)
Untuk membuktikannya, kita bisa melakukan substitusi pada indeks penjumlahannya. Misalkan \(j = i+1\). Ketika \(i=0\), maka \(j=0+1=1\). Ketika \(i=n-1\), maka \(j=(n-1)+1=n\).

Mengganti \(i+1\) dengan \(j\) dan mengubah batas penjumlahan sesuai dengan nilai \(j\), kita dapatkan:
\(\sum_{i=0}^{n-1} a_{i+1} = \sum_{j=1}^{n} a_j\)

Karena \(j\) hanyalah variabel indeks dummy, kita bisa menggantinya kembali dengan \(i\) untuk mencocokkan notasi sisi kiri:
\(\sum_{j=1}^{n} a_j = \sum_{i=1}^{n} a_i\)

Dengan demikian, kita telah menunjukkan bahwa:
\(\sum_{i=1}^{n} a_i = \sum_{i=0}^{n-1} a_{i+1}\)

Kedua sisi persamaan tersebut menghasilkan jumlah elemen yang sama dari sebuah barisan, hanya saja dengan penomoran indeks yang sedikit berbeda.