Buktikan sin^2 x=sec^2 x-1/sec^2 x

Identitas terbukti dengan mengubah sisi kanan menggunakan \( \sec x = \frac{1}{\cos x} \) dan identitas \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri \( \sin^2 x = \frac{\sec^2 x - 1}{\sec^2 x} \), kita dapat memulai dari sisi kanan identitas dan mengubahnya menjadi sisi kiri.

Sisi kanan: \( \frac{\sec^2 x - 1}{\sec^2 x} )

Kita tahu bahwa \( \sec x = \frac{1}{\cos x} \).
Jadi, \( \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \).

Ganti \( \sec^2 x \) dalam persamaan:

\( \frac{\frac{1}{\cos^2 x} - 1}{\frac{1}{\cos^2 x}} )

Untuk menyederhanakan pembilang, samakan penyebutnya:

\( \frac{\frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x}}{\frac{1}{\cos^2 x}} )

Sekarang, bagi kedua pecahan dengan mengalikan pembilang dengan kebalikan dari penyebut:

\( \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} \times \frac{\cos^2 x}{1} )

Batalkan \( \cos^2 x \) dari pembilang dan penyebut:

\( 1 - \cos^2 x )

Dari identitas trigonometri dasar, kita tahu bahwa \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Maka, \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).

Jadi, \( 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \).

Dengan demikian, sisi kanan sama dengan sisi kiri, yaitu \( \sin^2 x \).

Terbukti bahwa \( \sin^2 x = \frac{\sec^2 x - 1}{\sec^2 x} \).