Buktikanlah bahwa: cot 30=(cos 30)/(sin 30)

Identitas \( \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \) berlaku untuk semua sudut \( \theta \) di mana \( \sin \theta \neq 0 \). Untuk \( \theta = 30^{\circ} \), identitas ini benar karena \( \cot 30^{\circ} = \sqrt{3} \) dan \( \frac{\cos 30^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} \).

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri \( \cot 30^{\circ} = \frac{\cos 30^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} \), kita dapat menggunakan definisi dasar dari fungsi kotangen.

Definisi kotangen suatu sudut dalam segitiga siku-siku adalah perbandingan antara sisi samping sudut tersebut dengan sisi depan sudut tersebut. Dalam konteks lingkaran satuan atau identitas trigonometri, kotangen juga didefinisikan sebagai perbandingan antara kosinus dan sinus suatu sudut.

Secara umum, identitas dasar trigonometri menyatakan bahwa:
\( \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \)

Pada soal ini, kita diminta untuk membuktikan identitas tersebut untuk sudut \( \theta = 30^{\circ} \).

Mengganti \( \theta \) dengan \( 30^{\circ} \) ke dalam identitas umum:
\( \cot 30^{\circ} = \frac{\cos 30^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} \)

Identitas ini benar berdasarkan definisi dasar hubungan antara kotangen, kosinus, dan sinus.

Untuk lebih jelasnya, kita bisa melihat nilai-nilai spesifiknya:
\( \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \)
\( \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \cot 30^{\circ} = \sqrt{3} \)

Maka, sisi kanan persamaan:
\( \frac{\cos 30^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \)

Karena sisi kiri (\( \cot 30^{\circ} \)) sama dengan sisi kanan (\( \frac{\cos 30^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} \)), maka identitas tersebut terbukti benar.