Buktikanlah bahwa untuk n >= 4 dan n bilangan asli berlaku

Pembuktian menggunakan induksi matematika menunjukkan bahwa 3^n > n^3 untuk n >= 4.

Pembahasan

Kita akan membuktikan ketaksamaan \(3^n > n^3\) untuk semua bilangan asli \(n \ge 4\) menggunakan induksi matematika.\n\nLangkah 1: Basis Induksi\nUntuk \(n=4\), kita periksa apakah \(3^4 > 4^3\).\n\(3^4 = 81\)\n\(4^3 = 64\)\nKarena \(81 > 64\), maka ketaksamaan berlaku untuk \(n=4\).\n\nLangkah 2: Asumsi Induksi\nAsumsikan bahwa ketaksamaan berlaku untuk suatu bilangan asli \(k \ge 4\), yaitu \(3^k > k^3\).\n\nLangkah 3: Langkah Induksi\nKita perlu membuktikan bahwa ketaksamaan berlaku untuk \(n=k+1\), yaitu \(3^{k+1} > (k+1)^3\).\n\nKita mulai dari sisi kiri:\n\(3^{k+1} = 3 \cdot 3^k\)\nBerdasarkan asumsi induksi \(3^k > k^3\), maka:\n\(3^{k+1} > 3 \cdot k^3\)\n\nSekarang kita perlu menunjukkan bahwa \(3k^3 > (k+1)^3\) untuk \(k \ge 4\).\n\(3k^3 > k^3 + 3k^2 + 3k + 1\)\n\(2k^3 - 3k^2 - 3k - 1 > 0\)\nMari kita periksa nilai \(f(k) = 2k^3 - 3k^2 - 3k - 1\) untuk \(k \ge 4\).\nUntuk \(k=4\): \(f(4) = 2(4^3) - 3(4^2) - 3(4) - 1 = 2(64) - 3(16) - 12 - 1 = 128 - 48 - 12 - 1 = 67 > 0\).\nUntuk \(k > 4\), nilai \(f(k)\) akan semakin besar karena suku \(2k^3\) tumbuh lebih cepat daripada suku-suku lainnya.\nJadi, \(3k^3 > (k+1)^3\) berlaku untuk \(k \ge 4\).\n\nKarena \(3^{k+1} > 3k^3\) dan \(3k^3 > (k+1)^3\), maka dapat disimpulkan bahwa \(3^{k+1} > (k+1)^3\).\n\nKesimpulan:\nBerdasarkan prinsip induksi matematika, ketaksamaan \(3^n > n^3\) berlaku untuk semua bilangan asli \(n \ge 4\).