Buktikanlah: cos(theta -sin (3/2 pi)= sin theta

Identitas yang benar adalah cos(θ + 3/2π) = sin θ, yang dapat dibuktikan menggunakan rumus pengurangan sudut kosinus dan nilai sin/cos dari 3/2π.

Pembahasan

Kita akan membuktikan identitas trigonometri: cos(θ - 3/2π) = sin θ.

Kita dapat menggunakan rumus pengurangan sudut untuk kosinus: cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B.

Dalam kasus ini, A = θ dan B = 3/2π.

cos(θ - 3/2π) = cos θ cos(3/2π) + sin θ sin(3/2π)

Sekarang, kita perlu mengetahui nilai dari cos(3/2π) dan sin(3/2π).
Sudut 3/2π radian setara dengan 270 derajat. Pada lingkaran satuan:
- Titik pada sudut 3/2π adalah (0, -1).
- Nilai kosinus adalah koordinat x, jadi cos(3/2π) = 0.
- Nilai sinus adalah koordinat y, jadi sin(3/2π) = -1.

Substitusikan nilai-nilai ini kembali ke dalam persamaan:
cos(θ - 3/2π) = cos θ * (0) + sin θ * (-1)
cos(θ - 3/2π) = 0 - sin θ
cos(θ - 3/2π) = -sin θ

Ada kesalahan dalam soal atau dalam pemahaman saya. Mari kita coba identitas lain atau periksa ulang. Mungkin yang dimaksud adalah cos(θ + 3/2π) atau cos(3/2π - θ).

Mari kita coba cos(3/2π - θ) = cos(3/2π)cos(θ) + sin(3/2π)sin(θ) = (0)cos(θ) + (-1)sin(θ) = -sin(θ).

Mari kita coba cos(θ + 3/2π) = cos(θ)cos(3/2π) - sin(θ)sin(3/2π) = cos(θ)(0) - sin(θ)(-1) = sin(θ).

Jadi, identitas yang benar adalah cos(θ + 3/2π) = sin θ.

Jika soal memang cos(θ - 3/2π) = sin θ, maka ini tidak benar karena hasilnya adalah -sin θ. Namun, jika kita menganggap bahwa identitas yang diminta adalah cos(θ + 3/2π) = sin θ, maka pembuktiannya adalah sebagai berikut:

cos(θ + 3/2π)
= cos θ cos(3/2π) - sin θ sin(3/2π)
= cos θ (0) - sin θ (-1)
= 0 + sin θ
= sin θ

Terbukti bahwa cos(θ + 3/2π) = sin θ.

Jika soal tetap cos(theta -sin (3/2 pi)= sin theta, ini perlu diklarifikasi. Asumsi saya, soalnya ingin membuktikan cos(θ + 3/2π) = sin θ.