Buktikanlah identitas berikut. sec^2 x-sec x tan x=1/(1+sin

Identitas terbukti dengan mengubah sisi kiri menggunakan definisi sec x, tan x, dan identitas Pythagoras.

Pembahasan

Kita akan membuktikan identitas: sec²x - sec x tan x = 1/(1 + sin x).

Kita mulai dari sisi kiri identitas:
sec²x - sec x tan x

Kita tahu bahwa sec x = 1/cos x dan tan x = sin x/cos x. Substitusikan ini:
= (1/cos²x) - (1/cos x)(sin x/cos x)
= (1/cos²x) - (sin x/cos²x)
= (1 - sin x) / cos²x

Kita juga tahu identitas Pythagoras: sin²x + cos²x = 1, sehingga cos²x = 1 - sin²x.
Substitusikan ini:
= (1 - sin x) / (1 - sin²x)

Perhatikan bahwa penyebutnya adalah selisih dua kuadrat, 1 - sin²x = (1 - sin x)(1 + sin x).

= (1 - sin x) / [(1 - sin x)(1 + sin x)]

Kita bisa membatalkan faktor (1 - sin x) di pembilang dan penyebut (dengan asumsi sin x ≠ 1):
= 1 / (1 + sin x)

Ini sama dengan sisi kanan identitas. Dengan demikian, identitas terbukti benar.