Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut ini, kemudian

Himpunan penyelesaian: {(2, 2), (-34/13, -14/13)}. Tafsiran geometris adalah titik potong antara lingkaran x^2+y^2=8 dan garis 2x-3y+2=0.

Pembahasan

Untuk mencari himpunan penyelesaian SPLK (Sistem Persamaan Linear Kuadratik) dari x^2+y^2=8 dan 2x-3y+2=0, kita dapat menggunakan metode substitusi.

Langkah 1: Ubah salah satu persamaan menjadi bentuk yang lebih mudah untuk substitusi. Dari persamaan linear 2x - 3y + 2 = 0, kita bisa mendapatkan x dalam bentuk y:
2x = 3y - 2
x = (3y - 2) / 2

Langkah 2: Substitusikan nilai x ke dalam persamaan kuadrat:
[(3y - 2) / 2]^2 + y^2 = 8
(9y^2 - 12y + 4) / 4 + y^2 = 8
Kalikan seluruh persamaan dengan 4 untuk menghilangkan penyebut:
9y^2 - 12y + 4 + 4y^2 = 32
Gabungkan suku-suku yang sejenis:
13y^2 - 12y + 4 - 32 = 0
13y^2 - 12y - 28 = 0

Langkah 3: Selesaikan persamaan kuadrat untuk y menggunakan rumus kuadratik (y = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a):
Di sini, a = 13, b = -12, c = -28.
Diskriminan (D) = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4(13)(-28) = 144 + 1456 = 1600
sqrt(D) = sqrt(1600) = 40

y1 = [-(-12) + 40] / (2 * 13) = (12 + 40) / 26 = 52 / 26 = 2
y2 = [-(-12) - 40] / (2 * 13) = (12 - 40) / 26 = -28 / 26 = -14 / 13

Langkah 4: Substitusikan nilai y kembali ke persamaan x = (3y - 2) / 2 untuk mendapatkan nilai x:
Untuk y1 = 2:
x1 = (3(2) - 2) / 2 = (6 - 2) / 2 = 4 / 2 = 2
Untuk y2 = -14/13:
x2 = (3(-14/13) - 2) / 2 = (-42/13 - 26/13) / 2 = (-68/13) / 2 = -34 / 13

Himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 2), (-34/13, -14/13)}.

Tafsiran Geometris:
Persamaan x^2+y^2=8 merepresentasikan sebuah lingkaran dengan pusat di (0,0) dan jari-jari sqrt(8) = 2*sqrt(2).
Persamaan 2x-3y+2=0 merepresentasikan sebuah garis lurus.
Himpunan penyelesaian SPLK ini adalah titik-titik potong antara lingkaran dan garis lurus tersebut. Berdasarkan perhitungan, terdapat dua titik potong, yaitu (2, 2) dan (-34/13, -14/13). Menggambar sketsa akan melibatkan menggambar lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari sekitar 2.8, serta menggambar garis lurus yang memotong lingkaran di kedua titik tersebut.