Carilah himpunan penyelesaian tiap pertidaksamaan berikut.

Himpunan penyelesaiannya adalah $(-\infty, 5) \cup (7, 12)$.

Pembahasan

Untuk mencari himpunan penyelesaian pertidaksamaan $5/(x-7) > 7/(x-5)$, kita perlu memindahkan semua suku ke satu sisi dan mencari penyebut bersama.
$5/(x-7) - 7/(x-5) > 0$
Cari penyebut bersama, yaitu $(x-7)(x-5)$: $[5(x-5) - 7(x-7)] / [(x-7)(x-5)] > 0$
Sederhanakan pembilang: $(5x - 25 - 7x + 49) / [(x-7)(x-5)] > 0$
$( -2x + 24) / [(x-7)(x-5)] > 0$
Kita dapat membagi pembilang dan penyebut dengan -2, tetapi kita harus membalik tanda pertidaksamaan: $(x - 12) / [(x-7)(x-5)] < 0$
Sekarang kita perlu mencari nilai-nilai $x$ yang membuat pembilang atau penyebut sama dengan nol. Nilai-nilai kritisnya adalah $x = 12$, $x = 7$, dan $x = 5$.
Nilai-nilai ini membagi garis bilangan menjadi empat interval: $(-\infty, 5)$, $(5, 7)$, $(7, 12)$, dan $(12, \infty)$. Kita akan menguji satu nilai dari setiap interval untuk melihat apakah pertidaksamaan $(x - 12) / [(x-7)(x-5)] < 0$ terpenuhi.

1. Interval $(-\infty, 5)$: Pilih $x = 0$. $(0 - 12) / [(0-7)(0-5)] = (-12) / [(-7)(-5)] = -12 / 35$. Hasilnya negatif (< 0). Jadi, interval ini adalah bagian dari solusi.

2. Interval $(5, 7)$: Pilih $x = 6$. $(6 - 12) / [(6-7)(6-5)] = (-6) / [(-1)(1)] = -6 / -1 = 6$. Hasilnya positif (> 0). Jadi, interval ini bukan bagian dari solusi.

3. Interval $(7, 12)$: Pilih $x = 8$. $(8 - 12) / [(8-7)(8-5)] = (-4) / [(1)(3)] = -4 / 3$. Hasilnya negatif (< 0). Jadi, interval ini adalah bagian dari solusi.

4. Interval $(12, \infty)$: Pilih $x = 13$. $(13 - 12) / [(13-7)(13-5)] = (1) / [(6)(8)] = 1 / 48$. Hasilnya positif (> 0). Jadi, interval ini bukan bagian dari solusi.

Karena pertidaksamaan asli adalah $5/(x-7) > 7/(x-5)$ yang ekuivalen dengan $(x - 12) / [(x-7)(x-5)] < 0$, himpunan penyelesaiannya adalah interval di mana hasilnya negatif. Ingat bahwa $x \neq 5$ dan $x \neq 7$ karena penyebut tidak boleh nol.

Himpunan penyelesaiannya adalah $x < 5$ atau $7 < x < 12$. Dalam notasi interval, ini adalah $(-\infty, 5) \cup (7, 12)$.